Mathématiques

Le Prix Abel 2016 est décerné à Andrew Wiles

L’homme qui a démontré le dernier théorème de Fermat est honoré par l’Académie norvégienne des sciences et des lettres.

Sean Bailly

Andrew Wiles

Le mathématicien Andrew Wiles.

L’auteur

Sean Bailly est journaliste à Pour la Science

L’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 à Andrew Wiles, de l’université d’Oxford, pour « son éblouissante démonstration du dernier théorème de Fermat en utilisant la conjecture de modularité sur les courbes elliptiques semistables, ouvrant une nouvelle ère en théorie des nombres. »

Le prix Abel récompense chaque année, depuis 2003, un mathématicien dont la contribution à son domaine est exceptionnelle. Andrew Wiles, lorsqu’il présenta sa démonstration en 1994, a profondément marqué l’histoire des mathématiques en apportant une solution à un problème qui résistait aux mathématiciens depuis de nombreux siècles et en ouvrant de nouvelles perspectives dans le domaine de la théorie des nombres.

En 1637, le mathématicien français Pierre de Fermat énonce une conjecture : « Il n’existe pas de solution entière pour l’équation xn yn zn quand n est strictement plus grand que 2. » Mais plus que l’énoncé, ce qui a vraiment entouré cette conjecture de mystère est l’annotation que Fermat a laissée dans la marge de son livre, à côté de la conjecture : « J’ai une démonstration extraordinaire de cette proposition mais la marge est trop étroite pour la contenir. » Fermat ne laissa aucune indication sur sa démonstration. De nombreuses générations de mathématiciens se sont penchées sur le problème et pour beaucoup sans succès. Fermat, lui-même, montra que sa conjecture était correcte pour n = 4, Leonhard Euler pour n = 3 et Sophie Germain donna la preuve pour tout n premier (nombre divisible par un et lui-même). Mais était-il possible de trouver une preuve pour tout n > 2 ?

Andrew Wiles est né à Cambridge en 1953. À l’âge de dix ans, il découvrit un livre sur le dernier théorème de Fermat. Fasciné par ce problème qui résistait aux mathématiciens depuis 300 ans, le petit garçon décida qu’il devait le démontrer et s’engagea dès lors dans une carrière de mathématicien. D’abord professeur à l’université Princeton, avec un passage à l’Institut des hautes études scientifiques près de Paris et à l’Ecole normale supérieure entre 1985 et 1986, et plusieurs allers-retours entre Princeton et Oxford, il s’établit définitivement dans cette dernière université d’Oxford.

C’est lors d’un séminaire à Cambridge, au Royaume-Uni, en 1993, qu’il présenta sa démonstration du théorème devant une salle bondée. L’annonce fut immédiatement relayée par les médias. Cependant, lors de la vérification de la démonstration, une erreur fut décelée dans le raisonnement d’Andrew Wiles. Ce dernier, avec l’aide de Richard Taylor, un ancien de ses étudiants, a mis un an pour trouver la solution et mettre un point final définitif à la preuve.

Sa démonstration repose sur des techniques développées aux xviiie et xixe siècles auxquelles Fermat n’avait pas accès (il n’avait probablement pas une preuve correcte de la conjecture) : les courbes elliptiques et les formes modulaires.

Les courbes elliptiques sont définies par des équations cubiques à deux variables x et y qui peuvent être de la forme y2 = x3 + ax + b. Ces courbes ont de nombreuses applications. Mais un aspect important dans la démonstration du théorème de Fermat est que chaque courbe elliptique est définie par une suite de nombres (représentant le nombre de solutions possibles dans des groupes cycliques).

Les formes modulaires sont des objets plus abstraits avec un haut degré de symétrie qui peuvent aussi être définies, chacune, par une série de nombres. Elles n’ont a priori aucun lien avec les courbes elliptiques, mais en 1955, le japonais Yutaka Taniyama observa une relation étonnante entre la série de nombres associée à une forme modulaire et celle associée à une fonction elliptique. S’agissait-il d’une coïncidence ? Aidé de Goro Shimura, il réunit suffisamment d’éléments pour énoncer la conjecture de modularité suivante « pour chaque courbe elliptique, il existe une forme modulaire correspondante ». Mais la démonstration faisait défaut. André Weil introduisit cette question en Europe, si bien qu’on parle de la conjecture de Taniyama-Shimura ou de Taniyama-Shimura-Weil.

Comment cette conjecture de modularité est-elle reliée au dernier théorème de Fermat ? En 1984, lors d’un symposium, le mathématicien allemand Gerhard Frey présenta un résultat crucial. Il réécrivit l’équation xn + yn = zn sous la forme d’une fonction elliptique (qualifiée de semistable). Il fallait pour cela supposer que la conjecture de Fermat était fausse et donc qu’il existait des solutions entières pour n strictement plus grand que 2. Mais cette nouvelle équation était étrange : elle ne semblait pas avoir d’équivalent modulaire. Ainsi, pour reprendre le raisonnement de Frey, si la conjecture de Fermat était fausse, il était possible de réécrire l’équation sous la forme d’une courbe elliptique qui n’avait pas d’équivalent modulaire, et donc la conjecture de Taniyama-Shimura était elle aussi fausse. À l’inverse, si on prouvait la conjecture de Taniyama-Shimura, on montrait directement que la conjecture de Fermat était correcte. Kenneth Ribet prouva que la piste de Frey était correcte en 1986. Il ne restait donc plus qu’à démontrer la conjecture de Taniyama-Shimura !

Andrew Wiles, spécialiste à la fois des courbes elliptiques et des formes modulaires, se lança dans la démonstration de la conjecture des Japonais. Il développa des outils fondés sur la théorie des groupes de Galois pour comparer la représentation des courbes elliptiques et celle des formes modulaires. Huit ans plus tard, il parvenait à prouver la conjecture de Taniyama-Shimura et démontrait ainsi le dernier théorème de Fermat, plus de 350 ans après sa conjecture !

 

 

 

 

 

 

 

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The proof of the Last Theorem of Fermat, given by Andrew Wiles, is wrong, because the author used mathematical infinite which cannot exist in mathematics. My proof uses only the whole number and contains only two pages, while, the proof of Andrew Wiles is spread over 140 pages. My proof was sent to Pioneer Scientific Publisher on February 13, 2016 as affirms the following document:
Acknowledgement of receiving of the Paper #MM 451-201602002 of the Pioneer Journal of Mathematics and Mathematical Sciences ‏

From: Pioneer Scientific Publisher (pioneersci@hotmail.com)
Sent: Monday, February 15, 2016 7:55:34 AM
To: rachidmattamatta@hotmail.com (rachidmattamatta@hotmail.com)

Dear Professor Matta
We would like to inform you our office has safely received the submitted paper entitled “The Proof of the Last Theorem of Fermat” for possible publication in the Pioneer Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. The paper has been handed over to the referee who is requested to submit his report within three weeks. We shall contact you again as soon as his report reaches in our hand.
Our office has allotted ref. no. MM 451-201602002 to your submitted paper for future correspondences.
Thanking you for your interest in our Journal PJMMS,
Sincerely yours
Vinod K. Jaiswal
Chief Executive
Pioneer Scientific Publisher
Pioneer Research House
Varanasi, India
February 13, 2016

I hope that Professor Andrew Wiles will be the first to recognize that my proof give the true solution to Fermat’s Last Theorem. I will publish my proof when I receive the the referee’s report.
Rachid Matta MATTA
March 19, 2016


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