SUR L’ORIGINE AFRICAINE DES MATHEMATIQUES

Pascal Kossivi ADJAMAGBO
Université PARIS 6
adja@math.jussieu.fr

CONFERENCE INAUGURALE
UNIVERSITE CATHOLIQUE DE L’AFRIQUE DE L’OUEST
UNITE UNIVERSITAIRE DU TOGO
Lomé, le 12 novembre 2007

0. Introduction

Un proverbe répandu dans plusieurs langues africaines dit dans une des langues du « Pays de nos Aïeux », en l’occurrence le Mina (1) : « yé omou gna afiké olé yioa, gna afiké osoa », ce que l’on peut traduire en français « si tu ne sais pas où tu vas, saches au moins d’où tu viens », ou encore « à défaut de savoir où l’on va, il faut au moins savoir d’où l’on vient ».

Ce proverbe s’adresse en particulier à tout mathématicien ou à tout apprenti mathématicien, et plus particulièrement encore à tout mathématicien ou apprenti mathématicien africain, lui recommandant de s’instruire sur l’origine de sa discipline avant de spéculer sur son avenir les hautes sphères de l’enseignement, de la recherche et des technologies, au risque de passer pour un demi lettré, quelque soit l’éclat de son érudition purement mathématique.
Ce devoir de connaissance, non seulement de son passé, mais aussi de son origine, selon l’enseignement de la sagesse africaine, loin d’entretenir un passéisme stérile, est au contraire un principe et une source de fécondité et de créativité pour le présent comme pour l’avenir, conformément à la formule inspirée suivante de l’architecte Le Corbusier : « la tradition est la chaîne ininterrompue de toutes les innovations ».

Ce devoir de connaissance nous impose en tant qu’enseignant et chercheur de mener les recherches historiques sur l’origine des mathématiques avec la même rigueur que celle dont nous nous efforçons de faire preuve dans la recherche mathématiques et que nous avons la charge de transmettre à nos étudiants, en ne cessant de leur répéter que « selon la tradition mathématique, il ne suffit pas de dire des choses justes, il faut encore justifier ce que l’on dit » (3), conformément à la formule de Platon dans Théétete « l’opinion vraie étayée par le raisonnement, c’est cela la science, tandis que l’opinion dépourvue de raisonnement est en dehors de toute science » (4).

C’est ce devoir de rigueur qui nous a amené à introduire en histoire des mathématiques et des sciences en général, à la faveur de notre conférence au Colloque de Dakar de février 1996 en hommage à Cheikh Anta Diop à l’occasion du 10-ième anniversaire de sa disparition, une méthodologie nouvelle appelée « la thèse du Problème de Cauchy », et inspirée de la résolution du « problème de Cauchy classique » concernant les équations aux dérivées partielles (5). Cette méthodologie consiste par exemple à considérer la résolution du problème de la reconstruction des mathématiques antiques, qu’elles soient africaines ou asiatiques, égyptiennes, mésopotamiennes, grecques, chinoises ou arabes, comme un « Problème de Cauchy universel », c’est-à-dire la recherche d’un individu dont le comportement est gouverné par des lois connues et dont certaines « traces » le sont également. Un exemple d’un tel problème autre que le « Problème de Cauchy » classique est la recherche d’un individu dont les lois de comportement sont connues, ainsi que des empreintes digitales ou génétiques, comme c’est le cas de la recherche d’un criminel dont le comportement et les empreintes digitales ou ADN sont connus, ou le cas de la recherche de parenté par le test ADN entre une personne donnée et des personnes supposées avoir des liens avec la personne donnée.
Tout en exigeant de nous de déterminer et de tenir compte des lois ayant gouverné l’évolution historiques des mathématiques antiques africaines, notamment leur lente et longue germination au coeur de l’Afrique Noire depuis l’Afrique du Sud jusqu’aux sources du Nil, leur éclatante éclosion au bord du Nil en Egypte antique, et leur dernière disparition accidentelle avec l’extinction de la brillante civilisation noire égyptienne, cette méthodologie interdit donc de réduire les mathématiques antiques africaines à reconstruire aux traces que l’on a retrouvées d’elles, au risque de « marcher sur la tête » en réduisant une personne recherchée à ses empreintes digitales ou génétiques. Parmi la multitude de lois ayant sans doute joué des rôles décisifs dans cette évolution, nous retiendrons en particulier la loi de sédimentation du génie humain, la loi du bouillon de culture, et la loi du statut social des savants. Nous n’avons malheureusement pas le temps d’expliciter ces lois fort instructives et passionnantes et nous recommandons aux personnes intéressées le texte intégral de notre communication au colloque de Dakar (6).

L’intérêt principal de cette « thèse du problème de Cauchy » est qu’elle transfère dans la recherche historique dans toute sa généralité une méthodologie dont la rigueur, l’efficacité et la fécondité ont déjà fait leur preuve dans la recherche mathématique, illustrant avec éloquence la formule pertinente selon laquelle « la recherche consiste à voir ce que tout le monde voit et à en déduire ce que tout le monde ne voit pas », tout en faisant honneur à la plus ancienne et la plus profonde réflexion écrite sur la rigueur, l’efficacité et la fécondité des mathématiques présentées dès 1650 avant JC par le mathématicien et philosophe africain Ahéméssou, hypothétiquement et improprement prononcé « Ahmès » par les égyptologues étrangers à l’Egypte africaine, comme « une méthode rigoureuse d’investigation de la nature, afin de découvrir tout ce qui existe mais est caché ». La mise en œuvre de la « thèse du problème de Cauchy » suppose donc une finesse d’esprit et une rigueur de raisonnement qui manque cruellement à plusieurs travaux en histoire en général et en histoire des sciences en particulier, dont les acteurs semblent plus soucieux de constructions et de déconstructions idéologiques que de recherche de la vérité et de recherche scientifique, oubliant, comme l’aurait dit Abraham Lincoln, que : « on peut tromper une partie du peuple tout le temps et tout le peuple une partie du temps, mais on ne peut tromper tout le peuple tout le temps ».

L’itinéraire de voyage que nous proposons jusqu’aux sources de l’origine des mathématiques est donc le suivant : après la présentation des traces étonnantes de la lente germination des mathématiques en Afrique du Sud et au Congo, près de la source occidentale du Nil, nous expliquerons comment ces traces apportent un éclairage neuf sur l’interprétation des traces égyptiennes de l’éclosion fascinante des mathématiques au bord du Nil et permettent de conclure indiscutablement à l’origine africaine des mathématiques, conformément aux découvertes archéologiques modernes ou récentes et aux témoignages formels et unanimes des sources antiques grecques sur la question. Nous expliquons ensuite comment « Maât » le principe organisationnel universel de la civilisation noire égyptienne constitue l’essence même des mathématiques, et la fonde comme à la fois « la science et la recherche entre autres du vrai, du beau, du bien ». Pour terminer, nous en tirons la conclusion qui s’impose sur la nature des mathématiques comme une tradition intellectuelle authentiquement africaine à être honorée par tous les intellectuels africains, notamment dans les domaines de l’enseignement, de la recherche et des applications, afin de contribuer efficacement ainsi au développement des sciences et des technologies en Afrique et à son décollage économique et industriel.
1. Les traces de la germination des mathématiques en Afrique du Sud

Les traces les plus anciennes d’objets mathématiques dans l’histoire de l’humanité, des figures géométriques gravées avec des outils tranchants performants sur deux morceaux de pierres ocres, ont été découvertes en Afrique du Sud dans une grotte à Blombos. Ces découvertes ont fait l’objet d’une publication dans le numéro du 15 février 2002 du Journal Science qui a fait couler beaucoup d’encre (7), et pour cause. Les objets découverts ont été datés de 75 000 ans avant notre ère, à une période où de mémoire d’homme, les pieds d’aucun homme n’aient encore foulé le sol de l’Europe ou de l’Asie continentale, l’arrivée de l’homme moderne en Europe en provenance de l’Afrique, le berceau non seulement de l’humanité mais aussi de la civilisation moderne, datant seulement de 40 000 ans avant notre ère.

En plus de l’ancienneté de ces objets mathématiques, ce qui frappe le plus à la première vue un mathématicien contemporain, c’est la rigueur et la régularité dont témoignent les figures géométriques de Blombos à un niveau de loin supérieur à celui de la « triangulation » et plus généralement de la « discrétisation » d’une surface dans la théorie des éléments finis, comme en a convenu un des experts de cette théorie avec lequel nous avons eu le plaisir de discuter de la question, notre collègue Daniel Leroux, à l’issue d’une remarquable conférence de ce dernier sur cette théorie (8).

En effet, les figures géométriques de Blombos sont utilisées pour définir un des modèles idéaux de triangulation de surface dans cette théorie, et sont citées par exemple comme le motif D représentant un « élément fini » dans la figure 9.6 du livre de référence de Richard Gallacher « Introduction aux éléments finis » (), un des pères fondateurs de cette théorie, à propos de la performance d’une triangulation par rapport au critère de rapidité de convergence d’une solution approchée correspondant à une triangulation vers la solution exacte des équations aux dérivées partielles résolues par la méthode des éléments finis. Il s’agit plus précisément dans le cas considéré par R. Gallacher des équations aux dérivées partielles (4.17) d’équilibre et de compatibilité d’un matériau. A ce sujet, en citant une publication de la NASA, R. Gallacher révèle une propriété remarquable « mais cachée », comme dirait Ahéméssou, des figures géométriques de Bomblos que seule une analyse mathématique fine digne de la résolution d’un « problème de Cauchy » classique permet de découvrir : « des études théoriques ont été menées (9) sur la rapidité de convergence vers la solution exacte de l’équation différentielle (4.7) pour un certain nombre de maillages triangulaires. Les maillages étudiés sont illustrés en Fig. 9.6. Le motif A s’est avéré posséder la plus grande rapidité de convergence, mais comme il a été dit plus haut, il subsiste un problème d’isotropie géométrique. Le maillage par triangles équilatéraux (motif D) possède la même rapidité de convergence que le motif A. Les motifs B et C convergent plus lentement » (10).

En comparaison avec les figures géométriques de Blombos que nous pourrons désormais appeler à juste titre « la triangulation de Blombos », les triangulations les plus couramment utilisées dans la théorie des éléments finis, comme celle tirée du livre célèbre de Philippe Ciarlet, ou celles effectuées à l’aide d’un programme informatique et tirées du livre de …, apparaissent comme « désordonnées », plus précisément non suffisamment structurées pour tenir compte à la fois de la géométrie du domaine de définition des fonctions inconnues et des équations aux dérivées partielles gouvernant ces fonctions. Un des enjeux majeurs des travaux en cours dans la théorie des éléments finis est de résoudre ce problème de structuration, comme l’a si bien expliqué et illustré Daniel Leroux dans sa conférence citée.

Conformément à la formule de Platon selon laquelle « le beau est le rayonnement du vrai » cette impression proprement mathématique donc de « rigueur et de régularité » qui se dégage des figures géométriques de Blombos est en fait le rayonnement d’une autre « réalité cachée », comme dirait Ahéméssou, que révèle la théorie mathématique des pavages, en particulier des pavages dits réguliers et dits récursifs.

En effet, on appelle « pavage ou carrelage du plan affine réel » un « ensemble dénombrable »  de figures planes ayant les mêmes propriétés « topologiques » qu’un disque fermé du plan réel, dont les intérieurs sont deux à deux sans point commun, et dont le réunion est le plan tout entier, comme bien expliqué au premier chapitre du livre (11) de B. Grünbaum et G. Shephard « Tilings and Patterns, an introduction », à la page 16.

Il existe une très grande variété de pavages, comme cet ouvrage l’illustre à profusion. C’est cette variété qui permet aux artistes peintres de tous les temps, comme l’artiste néerlandais contemporain M. C. Escher () et ses lointains prédécesseurs égyptiens, romains et arabes, ainsi qu’aux artisans carreleurs ou paveurs de tous les temps, de déployer à l’infini leur créativité artistique et géométriques, en ajoutant des dessins et des couleurs aux figures de leurs pavages. Les plus connus de nos jours des chef-d’oeuvres artistiques et géométriques anciens de pavage sont ceux d’Alhambra en Espagne réalisés entre le 12-ème et le 16-ème siècle par des artistes arabes ou de culture arabes, et que M. C. Escher contribua grandement à faire connaître à nos contemporains (). Cependant, ces chef-d’œuvres d’Alhambra font pâle figure à côté des chef-d’œuvres égyptiens de pavages riches en couleurs, en ingéniosités et en fantaisies, antérieurs de plus de trois millénaires aux chef-d’œuvres d’Alhambra, astreints le plus souvent aux même règles de non représentation du genre animal que l’art islamique, ayant survécu au naufrage des millénaires et des vandalismes, exécutés par des artistes africains de l’Egypte ancienne et illustrant les temples et les tombeaux égyptiens, comme on peut les admirer dans le très bel « Atlas de l’Histoire de l’Art Egyptien »  de l’artiste Prisse d’Avennes () et dans le beau livre « L’Egypte Ancienne, Savants et Artistes sur la terre des Pharaons », de Catharine Roehrig et Franco Serino ().

Bien que ces chef-d’œuvres de pavage aient un caractère répétitif, ils ne sont pas toujours « réguliers » au sens mathématique du terme. En effet, en termes de la théorie des groupes, un pavage est dit « régulier » si son groupe des isométries, c’est-à-dire le groupe formé par les isométries du plan affine réel qui conservent ce pavage, agit transitivement sur l’ensemble des « drapeaux du pavages », c’est à dire l’ensemble des triplets formés par un « sommet » du pavage, une de ses « arêtes » dont ce sommet est une extrémité et une des figures de pavage dont cette arête est une partie du bord, comme mieux explicité dans la référence précédente, de la page 26 à 34. En termes plus simples, un pavage régulier peut être caractérisé comme un pavage dont les figures sont des « polygones convexes réguliers », deux à deux superposables, chaque sommet du pavage n’étant en contact qu’avec avec d’autres sommets, comme rapporté au second chapitre de l’ouvrage de B. Grünbaum et G. précédemment cité, à la page 58.

Comme signalé à la page 34 de cette référence, un des joyaux de la théorie des pavages est le théorème affirmant qu’il n’existe que trois types de pavages réguliers, en l’occurrence « le pavage avec des carrés superposables » que l’on peut encore appeler « le pavage trivial », et consistant en un quadrillage du plan affine avec des carrés égaux, « le pavage avec des hexagones superposables » que l’on peut encore appeler « le pavage des abeilles », étendant indéfiniment la coupe d’un nid d’abeilles perpendiculairement à ses cellules, et enfin « le pavage avec des triangles équilatéraux superposables », représenté il y plus de 77 000 ans par « la triangulation de Blombos ».

Les figures géométriques de Blombos ne se distinguent donc pas seulement parmi tous les pavages du plan affine comme un des trois seuls pavages réguliers, mais se distingue aussi parmi ces trois pavages comme le plus remarquable, les deux autres relevant soit de la trivialité, soit de l’intelligence des abeilles que les hommes ne sauraient se glorifier d’égaler, et dont ces derniers ne sauraient encore moins se glorifier de « plagier » les oeuvres.

La plus ancienne attestation connue à ce jour d’un tel « plagiat » est gravée sur un morceau d’os retrouvé à Eliseevitchi en Russie et datant d’environ 15 000 ans avant JC, comme le rapporte avec plus d’information le livre de Janusz Kolowski (12).

De plus, « la triangulation de Blombos » se distingue parmi tous les pavages du plan affine comme le seul non trivial qui soit « récursif », c’est-à-dire dont chaque figure peut être indéfiniment décomposée en des figures « semblables » de plus petite taille.
En guise de synthèse de cette analyse mathématique des figures géométriques de Blombos, nous pouvons affirmer que, contrairement au jugement superficiel du profane en les théories du Problème de Cauchy, des éléments finis et des pavages, ces figures constituent de purs objets géométriques, donc mathématiques, de purs produits donc de la pensée mathématique, non copiés sur la nature ou la culture du règne animal, et que l’on peut à juste titre considérer comme un des joyaux des mathématiques qui rendent un digne hommage à la conception esthétique des mathématiques formulée par Aristote dans son livre Métaphysique en ces termes : « Les formes les plus éminentes du Beau sont l’ordre, la symétrie, la précision, et ce sont les sciences mathématiques qui les révèlent de manière appropriée » (Métaphysique, M, 3, 1078)(13).

Ces figures géométriques aux tracés non approximatifs ou hésitants témoignent donc incontestablement d’une pensée géométrique sûre et mûre qui semble être le tout premier témoignage de la lente et longue germination de la pensée mathématique qui ne va éclore de toutes ses pétales que près de 75 mille ans plus tard à l’aube de l’histoire sur les bords du Nil, toujours en terre africaine en Egypte, en même temps que l’écriture.

En effet, ces figures géométriques semblent également confirmer la primauté historique de la géométrie en mathématique, en particulier sur la théorie des nombres, conformément à l’inscription de Platon sur le fronton de l’Académie : « que nul n’entre ici (sous-entendu dans ce temple de la science) s’il n’est géomètre », du moins selon la tradition néo-platonicienne du 6-ème siècle après JC au plus tard d’après l’éminent helléniste Henri Dominique Saffrey (14), et conformément à la célèbre formule de Platon : « Dieu est un géomètre perpétuel », du moins selon la tradition néo-platonicienne du premier siècle après JC rapportée par Plutarque (15).

Conformément à ces formules attribuées au « père de la philosophie », les mathématiques peuvent donc être considérées comme la fine fleur de la pensée humaine, et même divine. Or, les botanistes et les jardiniers savent bien qu’il faut du temps aux fleurs pour porter du fruit et aux fruits pour mûrir. Ils savent bien également qu’avant de fleurir et de porter du fruit, la graine d’une fleur a besoin de germer, tout comme avant d’atteindre l’âge de la raison, un homme doit d’abord naître. C’est cette germination qui a donc commencé en terre africaine à Blombos il y a plus de 77 000 ans, inaugurant ainsi, comme dirait Ahémessou, « une méthode rigoureuse d’investigation de la nature, afin de découvrir tout ce qui existe mais est caché ».

Bien plus que « l’émergence du comportement humain moderne », comme le pensent les découvreurs des figures géométriques de Blombos, après la première phase de sa longue évolution biologique, cette germination inaugure donc la phase ultime de l’évolution de l’évolution de l’espèce humaine vers son « point Oméga », à savoir la phase de la culture intellectuelle intégrale, c’est-à-dire à la fois scientifique, technologique, artistique et spirituelle, dont la pensée mathématique est un symbole éloquent, conformément à la théorie de l’évolution de Pierre Theillard de Chardin.
2. Les traces de la germination des mathématiques au Congo

La primauté historique de la géométrie entre autres sur la théorie des nombres, contrairement à l’opinion de Gauss selon laquelle « l’arithmétique est la reine des mathématiques », semble être confirmée par la découverte en 1950 et 1959 des deux os d’Ishango au Congo ex-Zaïre, au bord du Lac Edouard, la source occidentale du Nil par l’archéologue belge Jean de Heinzelin de Braucourt. A la faveur d’un colloque à Bruxelles sur la question, ces os sur lesquels sont gravées trois séries de nombres qui suscitent la plus grande curiosité des chercheurs en histoire des mathématiques, ont fait la une et la moitié d’une page intérieure du journal le Monde du 1-er mars 2007 en pleine campagne électorale présidentielle française, en concurrence avec le candidat Nicolas Sarkozy.

Dans l’article de la page 7 de ce journal, portant le titre fort éloquent « les os d’Ishango font naître la numération en Afrique », on peut lire ces remarques fort intéressantes et pertinentes : « sur le premier os, apparaissent ainsi trois colonnes de chiffres : d’abord 11, 21,19, et 9, puis 11, 13, 17 et 19, enfin 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, et 7. Plusieurs experts, observant que la première colonne pouvait se lire 10+1, 20+1, 20-1, 10-1, que la seconde était formée de nombres premiers et que la troisième suivant, pour l’essentiel, la règle de la duplication, y ont vu le signe indubitable d’un système arithmétique complexe, en base 10. D’autres, en combinant chiffres et colonnes, ont constaté que le chiffre 6 occupait une place centrale dans ce système, qui serait donc en base 6 ou 12 autant qu’en base 10. Une hypothèse confortée par le fait que des populations d’Afrique utilisent toujours des systèmes de calcul en base 12 : ainsi, chez les Yasgua du Nigéria, 13 se dit 12+1. Des méthodes ancestrales de comptage, où le pouce d’une main dénombre les phalanges des autres doigts, soit 3×4, donne aussi le chiffre 12, soit multiplié par les 5 doigts de l’autre main, 60. C’est précisément le total 60 que l’on trouve en additionnant les chiffres de la première ou de la seconde colonne, tandis que l’ont arrive à 48 avec la troisième colonne ».

En utilisant de manière optimale ces méthodes ancestrales de comptage, il est même possible de compter jusqu’à 12×12, c’est-à-dire 144, sur les doigts des deux mains, le pouce d’une main étant utilisé comme un curseur pour parcourir les 12 phalanges des autres doigts de cette main, le pouce de l’autre main étant également utilisé comme un curseur pour parcourir les 12 phalanges de la seconde mains représentant chacune une douzaine comptée sur la première main.

Pour compléter l’analyse mathématique du premier os d’Ihango dont les conclusions sont résumés dans la citation précédente du journal Le Monde, projetons maintenant les lumières de l’intelligence sur d’autres informations plongées jusqu’à maintenant dans l’obscurité de l’ignorance des profanes et des idéologues et concernant l’émergence dans l’histoire de l’humanité de la notion de « nombre abstrait » et la richesse mathématique des nombres premiers représentés par les groupes d’incisions de l’une des trois colonnes d’incisions de cet premier os.

Conformément à « la thèse du Problème de Cauchy », pour apprécier à leur juste valeur les informations très précieuses que l’on peut tirer des « traces d’Ishango » sur l’émergence de la notion de « nombre abstrait », c’est-à-dire du nombre indépendamment des objets dénombrés, il est utile de tenir compte de ce que les historiens des mathématiques mésopotamiennes disent de l’émergence de cette notion, non pas dans l’histoire de l’humanité comme ils le prétendent hâtivement , mais uniquement dans l’histoire de la civilisation mésopotamienne, où cette émergence n’est attestée qu’à la fin du troisième millénaire avant JC selon certains de ces historiens, et le début du second millénaire avant JC selon d’autres.

En effet, comme l’a écrit notre collègue de l’Université Paris 7, Christian Houzel, dans l’ouvrage collectif « Histoire des nombres » publié par le journal « La Recherche » en août 2007, « Dans l’antique Mésopotamie, les sumériens avaient des notations différentes suivant qu’il s’agissait d’objets que l’on peut compter un à un, comme de têtes de bétail, ou bien des mesures de volume pour le liquide ou encore pour le grain, et ainsi de suite. Et puis, vers la fin du IIIe millénaire, les scribes sumériens ont inventé un système savant destiné à s’appliquer à tout ce qui se compte. C’est là qu’on voit se former ce concept de nombre abstrait dans la notation écrite ».

De son côté, après avoir décrit plus concrètement l’évolution de la notion de nombre en Mésopotamie, depuis l’utilisation de « cailloux en argiles » appelés avec enjolivement par ces historiens « des jetons en argile », enfermés dans des marmites fermées appelés avec enjolivement par ces même enjoliveurs des « bulles en argile », dont les plus anciennes datent seulement de 3 300 avant JC, d’après le document « Naissance de l’écriture », publié pat le musée du Louvre en 1982, jusqu’au début de second millénaire avant JC, notre autre collègue de l’Institut de Mathématiques de Jussieu, Catherine Goldstein écrit dans le même ouvrage collectif que Christian Houzel précédemment cité : « A partir de ce moment, les nombres abstraits, dont l’écriture et le maniement ne dépendent plus des objets qu’ils dénombrent, sont vraiment en place (au début du second millénaire). Il leur a fallu pour cela se désincruster peu à peu d’autres signes (noms de biens, puis unités métrologiques), sous la pression de contraintes très concrètes, certaines liées à des facteurs extérieurs, comme la rationalisation de la métrologie, d’autres liées à des choix précédents des systèmes de numération en place ».

A la lumière de ces analyses savantes de l’émergence de la notion de « nombre abstrait » en Mésopotamie il y a environ quatre mille ans seulement, nous constatons que « les nombres abstraits » représentés par les incisions des os d’Ishango prouvent de manière irréfutable à la fois l’émergence de la notion de « nombre abstrait » à Ishango au cœur de l’Afrique Noire environ 21 millénaires avant cette émergence en Mésopotamie et le retard impressionnant de 21 millénaires de la Mésopotamie sur l’Afrique Noire et en particulier sur Egypte Ancienne en matière de la conception du « nombre abstrait » et des systèmes de numération à la fois de base 10 et 60.

A propos de la conception du « nombre abstrait » et du système de numération en base 10 en Egypte Ancienne, signalons que les plaquettes d’ivoire découvertes à Abydos par l’équipe de l’archéologue allemand Günter Dreyer et datant de 3 400 avant JC prouvent également que pendant les Mésopotamiens en étaient encore à utiliser des « cailloux en argiles » et des « marmites en argiles » pour représenter de diverses manières spécifiques des « nombres non abstraits » encore non séparés des objets dénombrés, les Egyptiens, fort de la notion de « nombres abstraits » assimilée en Afrique Noire depuis plus de 20 millénaire, avaient déjà atteint la représentation purement symbolique définitive des puissances de 10 sans doute jusqu’au million dans leur système de numération de base 10, comme le confirment la « palette de Narmer » et « la tête de massue de Narmer » datant environ de 3 200 avant JC et sur lesquelles figurent respectivement la représentation purement symbolique de mille et de million.

A propos du système de numération en bases 12 et 60 en Egypte Ancienne, signalons que son utilisation était attestée tant dans le calendrier civil Egyptien que dans le calendrier astronomique Egyptien qui était en usage depuis au moins 4 236 avant JC, comme bien expliqué par Cheikh Anta Diop dans son dernier livre « Civilisation ou barbarie », de la page 354 à la page 358. C’est également ce que confirme la déposition fort éloquente suivante de l’historien grec Strabon devant le tribunal de l’histoire sur la science proverbiale des prêtres de l’Egypte Ancienne : « Ces prêtres si profondément versés dans la connaissance des phénomènes célestes, étaient en même temps des gens mystérieux, très peu communicatifs, et ce n’est qu’à force de temps et d’adroits ménagements que Eudoxe et Platon purent obtenir d’être initiés par eux à quelques uns de leurs spéculations théoriques. Mais ces barbares en retinrent par devers eux cachée la meilleur part. Et si le monde leur doit de savoir aujourd’hui combien de fractions de jour il faut ajouter aux 365 jours pleins pour avoir une année complète, les Grecs ont ignoré la durée vraie de l’année et bien d’autres faits de même nature jusqu’à ce que des traducteurs en langue grecque des mémoires des prêtres égyptiens aient répandu ces notions parmi les astronomes modernes, qui ont continué jusqu’à présent à puiser largement dans cette même source comme dans les écrits et observations des Chaldéens » (Géographie, Livre XVII, 1, 29).

Examinons maintenant de plus près les particularités des nombres premiers 11, 13, 17, 19 représentés par une des trois colonnes d’incisions sur le premier os d’Ishango.

Conformément à notre « thèse du Problème de Cauchy », la première conclusion de notre solution du problème de Cauchy en question est que le maniement des nombres induit par l’activité de pêche des riverains du Lac Edouard près d’Ishango habitués entre autres à partager les prises de pêche les a amené à abstraire de leur expérience pratique des nombres la notion théorique et naturelle de « nombres premiers », c’est-à-dire de nombre entier supérieur à 1 et non divisible par un tel nombre, dont nous avons sous nos yeux une liste la plus ancienne dans l’histoire des mathématiques. C’est ce qu’a fait remarquer avec pertinence notre ami le physicien camerounais Jean-Paul MBelek en ces termes dans son article sur l’os d’Ishango disponible sur internet : « C’est un fait incontestable que les nombres premiers compris entre 10 et 20 sont bien présents dans la conne (b) de l’os droit d’Ishango. De plus, contrairement à ce que pensent probablement V. Pletser et D. Huylebrouck, dans de petites communautés de pêcheurs qui pratiquent le partage à parts égales de la pêche (pour maintenir les liens sociaux entre les différentes familles et clans), il n’est pas nécessaire de poser une définition abstraite des nombres premiers, voire de les désigner en tant que tels pour en avoir une connaissance concrète. En effet, si un pêcheur ne peut garder tous les poissons qu’il a pêché et sil veut garder plus d’un poissons de sa pêche pour lui, il est clair qu’il doit éviter d’avoir à partager un nombre de poissons égal à 3, 5, 7, 11, 13, 17 ou 19,…Ainsi, la manipulation des nombres premiers au paléolithique n’implique pas forcément une connaissance formelle élaborée de ces nombres ».

La seconde conclusion de notre solution du problème de Cauchy en question est que parmi les quatre nombres premiers considérés figurent deux couples de « nombres premiers jumeaux », c’est-à-dire de nombres premiers distants de deux unités, à savoir (11, 13) et (17, 19). Voici plus précisément la liste de tous les couples de nombres premiers jumeaux jusqu’à 1000 qu’il nous est plus aisé de nos jours à calculer par ordinateur. Sachant de nos jours qu’il existe une infinité de nombres premiers, c’est-à-dire qu’il existe toujours un nombre premier supérieur à tout nombre premier, comme c’est explicitement prouvé dans « Les Eléments » d’Euclide, il nous est naturel à partir de cette seconde conclusion de nous demander s’il existe également une infinité de couples de nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire s’il existe toujours un couple de nombres premiers jumeaux supérieurs à tous nombres formant un couple de nombres premiers jumeaux. La réponse positive à cette question est exactement l’énoncé connu sous le nom de « la conjecture des nombres premiers jumeaux » à laquelle introduit tout naturellement le plus ancien document d’arithmétique vieux de 25 000 ans, révélant ainsi sa richesse « heuristique » cachée relativement à cette conjecture qui est un des plus puissants moteurs des travaux de recherche en cours sur les nombres premiers, comme le prouve la publication en 2005 du retentissant article de ??? sur la question, où les auteurs ont réussi une percée « probabiliste » qui semble décisive pour « la solution finale » à cette conjecture. Avant cette dernière percée, le résultat le plus significatif obtenu sur les nombres premiers jumeaux est sans doute le théorème de Brun qui affirme que contrairement à la somme des inverses de tous les nombres premiers positifs, la somme des inverses de tous les nombres premiers figurant dans un couple de nombres premiers jumeaux est finie. C’est la valeur de cette somme qui est de nos jours appelée « la constante de Brun ». « La conjecture de Polignac », qui est une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, affirme qu’il existe une infinité de nombres premiers distants d’un nombre pair positif quelconque considérée. Sur le modèle du « théorème des nombres premiers », conjecturé par Gauss et prouvé indépendamment par Jacques Hadamard et De la Vallée Poussin, qui est un raffinement du théorème sur l’infinité des nombres premiers et qui donne plus précisément un équivalent du nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier donné, « la conjecture de Hardy et Littlewood » est un raffinement de la conjecture de Polignac qui a fait l’objet d’un récent article publié en 2005 par notre collègue de l’Université Paris 7 Marc Hindry, en collaboration avec Tinguy Rivoal.

La troisième conclusion de notre solution à notre problème de Cauchy est que les quatre nombres premiers considérés forment « un quadruplet de nombres premiers », c’est-à-dire une liste ordonnée par ordre croissant de quatre nombres premiers distincts formant deux couples de nombres premiers jumeaux tels que la différence entre le plus grand et le plus petit de ces nombres premiers soit le plus petit possible. On démontre que cette plus petite différence est 8, et donc qu’un « quadruplet de nombres premiers » est de la forme (p, p+2, p+6, p+8), où p est un nombre premier quelconque tel que p+2, p+6 et p+8 soient également des nombres premiers. De tels triplets peuvent donc être ordonnés par ordre croissant de p. Il est facile de vérifier que le premier « quadruplet de nombres premiers » est (5, 7, 11, 13) et que le second est celui qui figure sur le premier os d’Ishango. On démontre que ce second « quadruplet de nombres premiers » est en fait le plus remarquable de tous les « quadruplets de nombres premier », en ce sens que tout « quadruplet de nombres premiers » autre que le premier quadruplet se déduit du « quadruplet d’Ishango » en ajoutant un même multiple de 30 bien choisi à chacun des nombres premiers du « quadruplet d’Ishango ». Ce théorème révèle donc une seconde richesse mathématique « cachée » des nombres premiers formant le « quadruplet d’Ishango ». Voici par exemple la liste de tous les « quadruplets de nombres premiers » jusqu’à 100 000 qu’il nous est plus facile de nos jours de calculer par ordinateur. Compte tenu de cette liste et de « la conjecture des nombres premiers jumeaux », il nous est naturel à partir de cette seconde conclusion de nous demander s’il existe également une infinité de « quadruplets de nombres premiers ». La réponse positive à cette question est exactement l’énoncé connu sous le nom de « la conjecture des quadruplets de nombres premiers » à laquelle introduit tout naturellement le plus ancien document d’arithmétique de l’histoire de l’humanité, révélant ainsi une seconde fois sa richesse pédagogique et « heuristique » cachée, cette fois-ci relativement à cette dernière conjecture qui est un des plus grands défis de la recherche sur les nombres premiers et dont la résolution semble de nos jours hors de portée de la pensée humaine.

La quatrième conclusion de notre solution à notre problème de Cauchy est que les quatre nombres premiers considérés ont une troisième richesse pédagogique et « heuristique » cachée, cette fois-ci relativement à « la conjecture de Golbach ». Cette conjecture, ouverte depuis plus de deux siècles et demi et dont la résolution est dotée d’un prix d’un million de dollars par l’éditeur du roman à succès qui lui est consacré sous le titre « Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach », affirme que tout nombre pair supérieur à 2 peut s’écrire d’au moins une manière comme la somme de deux nombres premiers, et de manière équivalente que tout entier supérieur à 4 est la somme de trois nombres premiers. Cette conjecture constitue au même titre que la conjecture des nombres premiers jumeaux un des moteurs les plus puissants des recherches en cours sur les nombres premiers, comme l’illustre avec éloquence le livre de Paulo Ribenboim « Nombres premiers : mystères et records ». C’est également ce qu’illustrent avec autant d’éloquence les nombres premiers du « quadruplet d’Ishango ». En effet, il est facile d’écrire tout nombre pair supérieur à 2 et inférieur à 30 comme la somme de deux nombres premiers et de trouver toutes les manières de s’amuser ainsi, comme nous pouvons le vérifier séance tenante. A cette fin, nous invitons tout auditeur qui le souhaite de proposer au hasard un tel nombre, c’est-à-dire je le répète un nombre pair supérieur à 2 et inférieur à 30. Sachant que la liste de tous les nombres premiers jusqu’à 30 sont est formée de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29, il sera alors facile à chacun, non seulement d’écrire le nombre proposé comme comme une somme de deux nombres premiers, mais aussi de trouver le nombre de manières de le faire. Pour les nombres pairs à partir de 30, ce jeu est moins facile et donc plus stimulant. Mais, en utilisant les nombres premiers du quadruplet d’Ishango, il est facile d’écrire de deux manières différentes le nombre pair 30 comme 11+19 et 13+17. En écrivant 11 comme 7+4, 11+19 s’écrit encore 7+23, ce qui permet de trouver les trois seules manières d’écrire le nombre pair 30 comme somme de deux nombres premiers. Depuis le bon vieux temps d’Ishango, les progrès théoriques sur la résolution de la conjecture de Goldbach ont été bien minces et ont fait l’objet de l’ouvrage collectif « Goldbach conjecture » édité par Wang Yuan. Ils sont résumés dans l’ouvrage cité de Paulo Ribenboim où nous apprenons que cette conjecture à été vérifiée en 1980 pour les nombres pairs jusqu’à 100 millions et que le nombre de manières d’écrire comme somme de deux nombres premier un nombre pair inférieur à 200 000 a été calculé et publié en 1965. Pour terminer avec la conjecture de Goldbach, signalons que sur son modèle, un ami amateur de mathématiques a proposé l’énoncé suivant de « la conjecture générale de Goldbach » : « tout multiple d’un nombre premier p supérieur à ce dernier est la somme de p nombres premier ». Il est stimulant de vérifier cette nouvelle conjecture pour les multiples de 3 pas trop grands et je vous invite à goûter ce « pur plaisir de la pensée et de l’existence ».

A la lumière de « la thèse du problème de Cauchy » et des grandes conjectures sur les nombres premiers, les incisions des deux os d’Ishango doivent donc être considérés comme des traces et non l’encyclopédie des connaissances arithmétiques de l’Afrique Noire il y 25 mille ans, témoignant avec éloquence de l’émergence au plus tard à cette date de la notion de « nombre abstrait », plus de 20 000 ans avant cette émergence en Mésopotamie, en plus de la naissance au plus tard à cette date des systèmes de numération en base 10, 12 et 60 et des propriétés arithmétiques remarquables et même exceptionnelles des nombres premiers représentés par une des colonnes d’incision du premier os d’Ishango.

Quant à la diffusion et la postérité universelles des connaissantes mathématiques dont témoignent leurs traces sur les os d’Ishango, la thèse suivante des auteurs de « L’histoire du bâton d’Ishango » disponible sur internet nous parait fort éclairante et une belle illustration de notre thèse du Problème de Cauchy » : « Comment ces notions mathématiques développées par la culture d’Ishango se seraient-elles diffusées vers les berceaux traditionnels des mathématiques ? A nouveau, les harpons découverts en même temps que le bâton offrent quelques indices à notre imagination. En effet, le modèle de harpons découvert sur le site semble s’être diffusé à partir de la région des Grands Lacs, tant vers l’ouest que vers le nord, soit vers le Soudan et surtout l’Egypte, en empruntant le Nil ». Cette interprétation de la diffusion et de la postérité des connaissances mathématiques d’Ishango semble unanimement partagée par toutes les personnes de bonne foi qui ont pris la peine d’examiner attentivement les incisions des os d’Ishango à la lumière explicite ou implicite de « la thèse du problème de Cauchy », comme en témoigne de manière pathétique la présentation du disque de Chris Joris et Daniel Schell, « Ishango, the First African Oratorio » : « Mais si sur le plan scientifique, les avis divergent, sur celui de la symbolique, il n’y a pas de contestation possible : l’os d’Ishango témoigne de la créativité humaine et de son évolution qui prend naissance aux sources du Nil. Il jette un pont entre cette civilisation occidentale qui se réclame du développement et de la technologie et la civilisation africaine qui, il y a près de 20 000 ans, concevait les bases des premiers outils scientifiques. Ainsi, illustrant l’universalité de la science, le bâton d’Ishango représente beaucoup plus qu’il ne montre : il est le symbole de la race humaine, unique et indivisible ».

Quant à la transmission et la postérité à Ishango même de ces connaissances, Jean-Paul Mbelek, dans son article précédemment cité, propose l’observation et la remarque suivantes qui nous paraissent fort pertinente : « J. de Heinzelin a mis à jour une deuxième population qui a vécu sur le site d’Ishango quelques siècles plus tard, après qu’une irruption volcanique ait conduit la première population à s’éloigner (cf p. 114 de l’article précédemment cité de J. de Heinzelin). Or, bien que ces deux populations soient anatomiquement semblables, il apparaît que la seconde population n’a pas hérité des connaissances du système numérique inventé à Ishango par la première population. Cette deuxième population a même perdu l’usage du harpon qui, toutefois, s’était déjà diffusé dans d’autres parties de l’Afrique. Il s’agit donc là d’un cas de régression notoire suite à une catastrophe naturelle. Plusieurs millénaires plus tard, l’Afrique connaîtra d’autres catastrophes celles-ci plus humaines cependant mais non moins déstabilisantes et sources de régressions ».

Cette interprétation de la transmission et de la postérité à Ishango même des connaissances mathématiques dont témoignent les os d’Ishango est conforme à la vision de l’histoire des mathématiques, des sciences et des techniques proposée par le philosophe néo-platonicien Proclus de Lycie du quatrième siècle après JC dans la seconde partie du Prologue de son livre « Les commentaires sur le premier livre des Eléments d’Euclide » : « Il convient de parler maintenant de l’origine de la géométrie dans la période actuelle, attendu, comme le divin Aristote l’a dit, que les mêmes opinions sont fréquemment venues aux hommes pendant certaines périodes régulières de l’Univers, et ce n’est guère dans la période actuelle ni dans celles qui nous sont connues que les sciences ont pris d’abord consistance ; mais on ne saurait dire dans combien d’autres circonvolutions de l’histoire déjà survenues et encore à venir elles apparaissent et disparaissent. Or, comme nous devons considérer les débuts des sciences et des arts dans la période actuelle, nous dirons que beaucoup d’auteurs rapportent que la géométrie, née de la mesure des terrains, a été inventée par les Egyptiens, et que cette mesure leur était nécessaire à cause de la crue du Nil qui faisait disparaître les bornes appartenant à chacun. Il n’est d’ailleurs pas étonnant que l’invention de cette science et des autres ait été commandée par l’intérêt ; car tout ce qui est obtenu dans la génération procède de l’imparfait au parfait. Il est donc naturel qu’une transition se produise de la sensation au raisonnement et de celui-ci à l’intelligence. Dès lors, de même que la connaissance exacte des nombres a pris sa source chez les Phéniciens à cause du commerce et des transactions, la géométrie a de même été trouvée par les Egyptiens pour la raison que nous venons de dire. Thalès fut le premier qui, ayant été en Egypte, en rapporta la théorie en Grèce ».
Ces observations font donc la transition des traces de la germination des mathématiques à Blombos et Ishango vers les traces de l’éclosion des mathématiques en Egypte, tout en apportant l’éclairage neuf annoncé sur l’interprétation correcte de ces dernières traces, conformément à « la thèse du Problème de Cauchy ».
3. Les traces de l’éclosion des mathématiques en Egypte
Comme « les traces égyptiennes des mathématiques égyptiennes », on peut retenir les deux types de calendriers, civil et astronomiques égyptiens, qui témoignent incontestablement d’une précision époustouflante à la fois dans l’observation astronomique et dans le calcul mathématique, comme les fractions de jours à ajouter aux 365 jours du calendrier civil et dont les calculs savants ont fasciné le géographe grec Strabon en comparaison de l’ignorance des grecs en cette matière jusqu’au déclin de la civilisation égyptienne et à l’aube de la civilisation grecque, comme également les calculs savant inévitables permettant de gérer le calendrier astronomique égyptien, le seul calendrier de chronologie absolue de l’histoire de l’humanité, d’une périodicité époustouflante de 1460 ans, permettant de résoudre de manière magistrale le problème des années bissextiles, et qui était en usage depuis 4236 avant JC, date correspondant au début de la première dynastie égyptienne selon la chronologie longue de l’histoire égyptienne.

Comme autres « les traces égyptiennes des mathématiques égyptiennes », on peut retenir les chef-d’oeuvres de l’architecture égyptienne, qui sont des applications de calcul et autres méthodes mathématiques savants, comme le prouvent irréfutablement les méthodes mathématiques de la sculpture égyptienne. Le plus éloquent des les traces architecturales égyptiennes des mathématiques est incontestablement la première des « sept merveilles du monde antique » selon l’historien grec Hérodote et qui est selon nous le symbole même de la civilisation égyptienne, de la démarche typiquement égyptienne qui consiste à
aller de la conception théorique à la réalisation pratique, avec toute la prouesse et la virtuosité que cela peut supposer, contrairement aux idéologues demi lettrés qui veulent réduire les sciences égyptiennes aux recettes de cuisine et réserver le mérite de la conception théorique, abstraite et rigoureuse aux auteurs du faux « miracle grec » qu’il faudrait plutôt appeler « le mirage grec », et conformément à l’hommage vibrant rendu aux mathématiques égyptiennes par le Prix Nobel de Physique le Professeur Wilson : « les superordinateurs conduiront à la mise en oeuvre, dans le domaine de la recherche scientifique, d’une stratégie inédite et résolument novatrice, appelée à s’inscrire à la suite de l’approche théorique inaugurée par l’Egypte ancienne, et des techniques expérimentales remontant à l’époque de Galilée ».

Parmi les plus importantes « les traces mathématiques égyptiennes des mathématiques égyptiennes », on peut citer les papyrus dits de Rhind et de Moscou, datant de 2000 à 1850 ans avant notre ère, qui ne sont pas des traités mathématiques du genre « Eléments d’Euclide », mais des documents d’application numérique de connaissances mathématiques théoriques implicitement citées et dont les preuves devaient se trouver dans d’autres documents mathématiques précieusement conservés dans les bibliothèques des « maisons de vie » des
temples égyptiens. Malgré leur caractère appliqué, ces papyrus sans doute à l’usage de contremaîtres sur les multiples chantiers de l’Egypte antique témoignent d’une virtuosité et d’une ingéniosité impressionnantes dans le maniement des nombres, d’opérations numériques compliquées réalisées avec une simplicité étonnante sans l’usage de nos tables de multiplications modernes dont ces papyrus démontrent l’inutilité et la lourdeur, comme le prouve avec brio le cours d’informatique de 1985 de l’Ecole Polytechnique après des calculs savants de ce que les mathématiciens contemporains appellent « la complexité algorithmique de la vénérable multiplication égyptienne » : « ces chiffes démontrent tout l’intérêt de la méthode égyptienne pour la multiplication de relativement grands nombres et expliquent que ce vénérable algorithme soit toujours utilisé dans les ordinateurs ne disposant pas de multiplicateurs. Si le temps de cycle d’un tel ordinateur est de une micro-seconde pour réaliser additions comme décalages, il calculera une multiplication sur 32 bits en plus de 32×3 cycles, soit moins de 100 micro-secondes par multiplication égyptienne. L’utilisation de l’algorithme naïf conduirait à 2 puissance 32 cycles, soit près de 1 h 11 minutes pour le même calcul ».

Mais, en plus de l’invention des notations positionnelles et multiplicative pour la représentation des nombres attestées par le papyrus dit de Rhind, de l’invention du zéro (appelé « Néfer » en Egyptien ancien) et des nombres négatifs (appelés « nombres en dessous de zéro » en Egyptien anciens) attestés sur les murs d’un temple à Meïdon dès avant 2600 avant JC, soit plus de 3000 ans avant cette attribution au mathématicien indien Bramagupta et sur le papyrus de Boulak vers 1900 avant JC, de l’invention de la trigonométrie avec la notion de cotangente d’un angle (appelée en Egyptien ancien « sequet ») attestée sur les murs d’un temple à Meïdon dès avant 2600 ans avant JC, de l’invention de la « géométrie analytique » avec l’usage de deux « cordonnées » pour le repérage des points et le tracé de courbes attestée avant 3000 ans avant JC, soit 4600 ans avant cette attribution à Descartes, l’invention des chiffres modernes attestés dans la fameuse « Grammaire Egyptienne » de J.-F. Champollion plusieurs millénaires avant cette attribution aux indiens et arabes, la plus grande prouesse mathématique théorique des mathématiques Egyptiennes dont témoignent les calculs du papyrus dit de Moscou est la révélation de la connaissance par les égyptiens la formule rigoureusement exacte du volume du tronçon de pyramide de bases carrées de côtés a et b et de hauteur h, et ne faisant intervenir aucune intervenir constante « transcendante » comme pi :

V = (h/3)(a^2 + ab + b^2)

Comme le commente avec admiration l’auteur norvégien Audun Holme du livre
« Geometry, Our Cultural Héritage », paru en 2002 chez Springer : « C’est rigoureusement exact, et sa beauté et sa simplicité ont amené certains historiens des mathématiques à se référer avec hommage à cette formule comme la plus grande de toutes les pyramides égyptiennes ».

De cette dernière formule, on déduit que le volume d’une pyramide entière de base carrée de coté a et de hauteur h est :

V = (h/3)a^2

En d’autres termes, cela signifie qu’une telle pyramide a le même volume qu’un parallélépipède droit de même base et de hauteur trois fois moindre.

La question naturelle qui vient à l’esprit du mathématicien contemporain au courant du troisième problème de Hilbert est de savoir par quelle méthode théorique les mathématiciens égyptiens ont établit cette formule « parfaitement exacte ». Ce problème est de savoir si l’on peut prouver l’égalité de volume de deux polytopes de même volume en découpant l’un d’eux en un nombre fini de morceaux et en assemblant un certain nombre de ces morceaux, comme on peut aisément le faire pour prouver la formule précédente dans le cas où la hauteur est la moitié du coté de la base, en considérant les six pyramides identiques définis par le centre d’un cube de même coté que la base de la pyramide de départ et par chacune des faces du cube. La réponse apportée par Dehn, un des élèves de Hilbert, un an après la présentation de la fameuse liste de ses 23 problèmes au Congrès International des Mathématiciens à Paris en 1900, affirme avec toute l’autorité d’un théorème que les mathématiciens égyptiens n’ont pas établir cette formule avec la méthode de découpage fini évoquée par Hilbert, mais par une méthode équivalente à notre calcul intégral moderne.
Les plus anciennes traces de l’éclosion des mathématiques au monde autres que les traces africaines sont les tablettes mathématiques mésopotamiennes dont la plus célèbre est la tablette dite Plimpton 322 donnant, à quelques erreurs près trahissant l’origine empirique des connaissances mathématiques mésopotamiennes, une liste de 15 « triplets pythagoriciens », c’est-à-dire des listes de trois nombres naturels non nuls dont la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du troisième. Selon les historiens des mathématiques babyloniennes, ces tablettes datent de la seconde moitié de la dynastie de Hammurabi (voir par exemple Old Babylonian Mathematics dans l’Encyclopédie Wikipédia), donc de 1600 à 1531 avant JC d’après la chronologie courte du Proche Orient ancien la plus
couramment utilisée de nos jours (voir par exemple Chronology of the Ancient Near East dans l’Encyclopédie Wikipédia), contrairement au dates farfelues citées par la plus part des historiens des mathématiques babyloniennes pour accroître faussement l’antiquité de ces tablettes.

L’antériorité indiscutable des traces égyptiennes de l’éclosion des mathématiques égyptiennes sur les traces de l’éclosion des mathématiques dans toute autre région du monde, ainsi que la valeur conceptuelle incontestable des mathématiques égyptiennes dont témoignent leurs traces égyptiennes font donc de l’Egypte Antique, et donc de l’Afrique Noire, l’unique origine des mathématiques, plus précisément l’unique origine de la germination et de l’éclosion des mathématiques.

Cette démonstration sur l’origine des mathématiques qui s’appuie sur des sources archéologiques disponibles se trouve être confirmée par les dépositions formelles d’illustres témoins grecs des mathématiques antiques égyptiennes.

Pour apprécier à leur juste valeur ces témoignages des auteurs grecs, il importe de savoir qu’ils parlent en connaissance de cause, pour avoir pour la plupart été formés intellectuellement en Egypte par les prêtres égyptiens et avoir eu le privilège pour les plus favorisés parmi eux comme Pythagore et Platon de partager l’intimité intellectuelle et religieuse de ces artisans de la science égyptienne dont ils parlent, comme c’est le cas de Platon, ou dont ils ont entendu parlé par leurs maîtres comme c’est le cas d’Aristote (voir par exemple le livre récent de T. Obenga, L’Egypte, la Grêce et l’Ecole d’Alexandrie, 2005), contrairement à certains idéologues contemporains qui vont jusqu’à remettre en cause la parole ou le jugement de ces auteurs grecs qu’ils considèrent pourtant comme des pères incontestés de la philosophie et de la logique, et qui savent donc ce dont ils parlent à propos de la nature théorique et abstraite et non empirique des connaissances mathématiques de l’Egypte antique.

En effet, Platon qui a étudié en Egypte de 399 à 387 avant JC, c’est à dire à la mort de Socrate et avant la fondation de sa célèbre Académie en s’inspirant nécessairement de son expérience intellectuelle et religieuse auprès des prêtres égyptiens, comme nous rappelle Strabon dans sa citation précédente, fait dire à son maître vénéré Socrate dans Phèdre 274, d: « J’ai oui dire que vécut près de Naucratis en Egypte un des anciens dieux de ce pays à qui les Egyptiens ont dédié l’oiseau qu’ils appellent Ibis. Ce génie porte le nom de Thot. C’est lui qui inventa le nombre et les méthodes de calcul, la géométrie et l’astronomie, le trictrac et les dés, enfin et surtout l’écriture. En ce temps-là Thamous régnait alors sur l’Egypte entière, résidant dans la grande ville de la Haute Egypte que les grecs nomment Thèbes d’Egypte, et dont ils nomment le dieu Ammon. Thot vient trouver le roi. Il lui montra les arts qu’il avait inventés, en lui disant que le reste des Egyptiens devrait en bénéficier. Alors le roi lui demanda quel pouvait être l’usage de chacun d’eux. Au fur et à mesure que Thot le lui exposait, et selon que les explications lui semblaient satisfaisantes ou pas, le roi blâmait ceci, louait cela. Nombreuses dit-on, furent les observations que Thamous fit à Thot, dans l’un ou l’autre sens, au sujet de chaque art, et dont une relation détaillée serait bien longue ».

Aristote, qui devait connaître par coeur les écrits de son maître Platon, complète le témoignage de ce dernier sur l’invention des mathématiques par l’Egypte antique en soulignant et en justifiant sa nature théorique et non empirique en ces termes au début de son livre sur la Métaphysique, Livre A, 1, 981, b, 10-30 :

« Aussi, le premier qui inventa un art quelconque, en allant au delà des impressions sensibles que tout le monde éprouve, doit vraiment susciter parmi les hommes une réelle admiration, non pas seulement comme ayant fait une découverte utile, mais comme étant un sage, fort supérieur à ses semblables. Plus tard, quand tous les arts se furent multipliés, les uns s’appliquant aux besoins nécessaires et les autres à l’agrément de la vie, on ne cessa pas pour cela de toujours considérer les gens qui s’élevaient jusqu’à l’art comme plus savants que les gens de simple expérience et cette estime leur fut accordée précisément parce que leurs connaissances n’avaient pas un but d’application immédiate. Mais, une fois que tous les arts indispensables se furent constitués, on vit surgir les sciences dont l’objet ne peut être ni l’agrément ni le besoin. Elles naquirent tout d’abord dans les climats où l’homme peut se livrer plus facilement au repos. C’est pourquoi les sciences mathématiques ont d’abord été constituées en Egypte seule, où la caste des prêtres employait de cette façon les loisirs qui lui avaient été ménagés. Dans notre ouvrage Ethique, nous avons indiqué par quels caractères se distinguent mutuellement l’art, les sciences et les autres connaissances de cet ordre. Mais le but de notre présente discussion, c’est de montrer que, par sagesse, on entend d’habitude ce qui traite des causes premières et des principes premiers. Aussi, Je répète donc, en résumant ce qui précède : l’expérience à ce qu’il semble, est un degré de connaissance plus élevé que la sensation, sous quelque forme que la sensation s’exerce l’homme qui se guide par les méthodes de l’art est supérieur à ceux qui suivent exclusivement l’expérience l’architecte est au-dessus des manoeuvres et les sciences théoriques sont au dessus des sciences purement pratiques ».

Parler d’empirisme à propos des mathématiques antiques égyptiennes après une pareille déposition du père de la logique sur son caractère théorique relève, non pas de la mauvaise foi, mais tout simplement du ridicule et de la niaiserie.

Ce témoignage jette donc une vive lumière sur la citation précédente de Strabon qui vaut la peine d’être relue, notamment sur la nature spéculative et théorique des sciences antiques égyptiennes en général et des mathématiques antiques égyptiennes en particulier : « Ces prêtres si profondément versés dans la connaissance des phénomènes célestes, étaient en même temps des gens mystérieux, très peu communicatifs, et ce n’est qu’à force de temps et d’adroits ménagements que Eudoxe et Platon purent obtenir d’être initiés par eux à quelques uns de leurs spéculations théoriques. Mais ces barbares en retinrent par devers eux cachée la meilleur part. Et si le monde leur doit de savoir aujourd’hui combien de fractions de jour il faut ajouter aux 365 jours pleins pour avoir une année complète, les Grecs ont ignoré la durée vraie de l’année et bien d’autres faits de même nature jusqu’à ce que des traducteurs en langue grecque des mémoires des prêtres égyptiens aient répandu ces notions parmi les astronomes modernes, qui ont continué jusqu’à présent à puiser largement dans cette même source comme dans les écrits et observations des Chaldéens » (Géographie, Livre XVII, 1, 29).
Après un pareil témoignage, on trouverait presque banal que Jamblique, biographe de Pythagore, philosophe néo-platonicien enseignant à Alexandrie au début du IV-ième siècle de notre ère, donc bien après Euclide et Archimède, écrive que « tous les théorèmes de géométrie viennent de l’Egypte » (voir par exemple Cheick Anta Diop, Civilisation ou Barbarie), confirmant et précisant ainsi la déposition de Hérodote, le père de l’Histoire : « C’est ce qui donna lieu, à mon avis, à l’invention de la géométrie, que les Grecs rapportèrent dans leur pays »(Histoires, II, 109), et jetant au passage un sérieux doute sur la paternité actuellement accordée à ces deux mathématiciens grecs ou supposés tels sur les résultats qu’ils rapportent ou qu’on leur attribue, confirmant ainsi avec le recul de quatre siècles, le témoignage d’un prêtre égyptien rapporté par DIODORE de SICILE et selon lequel les prétendues découvertes qui font la réputation des savants grecs sont des connaissances qui leur ont été enseignées en Egypte et dont ils s’attribuent la paternité, une fois rentrés chez eux, comme l’a fait signalé Cheick Anta Diop dans Civilisation ou Barbarie.

4. Mâat, l’essence des mathématiques

A la lumière des analyses précédentes des conditions historiques de la lente germination et de l’éclosion des mathématiques, avant d’en arriver à la conclusion, il est utile de s’interroger sur l’essence même des mathématiques.

Le mot « mathématiques » est la traduction du mot grec « mathemata », le pluriel de « mathema », un substantif du verbe « matheno ». Ce verbe signifie « apprendre de manière pratique, par l’expérience », de sorte que le nom dérivé « mathemata » signifie « les connaissances et les traditions acquises par instruction ou par expérience pratique au contact d’un maître » (voir par exemple T. Obenga, La géométrie égyptienne, Appendice I, p. 287-288). Ainsi, comme l’indique leur étymologie grecque, les mathématiques apparaissent dans le concert des évènements culturels de l’humanité comme « une tradition de pensée intellectuelle vivante et spécifique acquise au contact des maîtres grâce à une interaction concrète ou une lecture critique ».

Mais cette étymologie grecque ne dit rien sur l’essence des mathématiques, trahissant le fait historique que les mathématiques ne sont pas une tradition d’origine grecque, mais une tradition adoptée héritée de l’Egypte, comme plusieurs auteurs célèbres grecques comme Hérodote, Platon et Aristote l’ont écrit, après des expériences personnelles de voyage ou de formation dans « la patrie de l’écriture, des mathématiques, de la médecine, de la chimie, de l’architecture, etc ».

Ainsi, celui qui veut en savoir plus sur l’essence des mathématiques doit interroger la source égyptienne, plus précisément le scribe Ahéméssou, « le plus ancien philosophe connu des mathématiques », qui rappelons-le, a écrit à ce sujet aux alentours de 1650 avant JC une annotation du papyrus mathématique dit de Rhind, plus de 1000 ans avant les philosophe grecs, à une période où même la Grèce légendaire n’était pas encore née : « méthode exacte et rigoureuse d’investigation de la nature afin de connaître tout ce qui existe mais est caché » (voir par exemple T. Obenga, La géométrie égyptienne, Appendice I, p. 287-288 ). La signification de cet énoncé concernant les mathématiques est plus profonde quand la notion de « nature » est comprise dans sa totalité de « monde intelligible et monde matériel ». Cette réflexion sur les mathématiques qui révèle à la fois l’essence des mathématiques et son pouvoir sur la totalité de la nature, signifie à un premier niveau de lecture que l’exactitude et la rigueur font partie de l’essence des mathématiques, présentant ainsi les mathématiques comme la science exacte par excellence, à la différence des autres sciences de la nature qui sont par définition « des sciences d’approximation de la nature ». Mais ceux qui sont familiers avec la culture égyptienne pourraient reconnaître au début de la phrase d’Ahéméssou une citation implicite de Maât, le principe organisationnel universel de la civilisation égyptienne dont les composantes sont : la vérité, la justice, l’exactitude, la rigueur, l’ordre spirituel cosmique et social, l’harmonie, la beauté, la grâce, la simplicité, etc. Ce principe est explicitement cité à la fin de toute preuve mathématique égyptienne avec la formule « c’est conforme à Maât », de laquelle dérive notre formule moderne « C.Q.F.D », et qui est aussi le verdict du « jugement Divin » qui ouvre au candidat à la vie éternelle la porte de l’éternité d’après le « Livre des Morts » de l’Egypte ancienne.

Ainsi, la réflexion d Ahéméssou signifie à un second niveau de compréhension que « l’essence complète des mathématiques est Maât », en d’autres termes que dans l’essence des mathématiques, il n’y a pas seulement l’exactitude et la rigueur, mais aussi toutes les composantes de Maât, en particulier la simplicité qui est une des spécificités les plus remarquables de toutes les mathématiques égyptiennes, comme le prouvent la simplicité et le génie de l’arithmétique et de la géométrie égyptiennes dont témoignent les papyrus dits de Moscou et de Rhind.

5. Conclusion

Ainsi, selon l’origine égyptienne, donc africaine et même noire africaine de l’éclosion des mathématiques et selon l’essence des mathématiques qu’est Mâat, les mathématiques sont à la fois la science et la recherche de la vérité, l’exactitude, la rigueur, la précision, la concision, l’harmonie, la beauté, la grâce et la simplicité. Mais le plus grand génie des mathématiques est sans discussion le génie de la simplicité.

Nous pouvons donc en conclure que les mathématiques sont au même l’écriture, la médecine, les beaux-arts, l’architecture, l’urbanisme, la philosophie, le droit, et la science musicale par exemple, une tradition intellectuelle authentiquement africaine que toutes les générations d’intellectuels africains, notamment les plus jeunes, les universitaires, les chercheurs, les élèves et les étudiants, ont le devoir moral d’honorer, non seulement par le rappel d’un passé prestigieux falsifié par les mass médias, mais aussi et surtout par l’innovation et les applications technologiques au service du développement intégral de l’Afrique à l’instar de l’Egypte ancienne, conformément à la formule de Le Corbusier : « la tradition est la chaîne ininterrompus de toutes les innovations ».

Merci pour toute votre attention !
6. Bibliographie

Voir la version complète à venir du texte de la conférence.

Voir l’interview ci-dessous de Pascal Adjamagbo dans diasporoom.

RDC: L’os qui prouve que les mathématiques sont nées en Afrique

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