Meray

Outre les Allemands Eduard Heine (1821-1881) et Georg Cantor (1845-1918), le Français Hugues Charles Robert Meray, né le 12 novembre 1835 à Chalon-sur-Saône, décédé le 2 février 1911 à Dijon, apporta une contribution remarquable à la construction des nombres irrationnels, constitutifs des nombres réels ; ainsi qu’à la didactique des mathématiques. L’année 2011 constitue le centenaire de sa mort. Plusieurs méthodes ont été utilisées pour construire les nombres irrationnels. Nous exposons celle s’inspirant du modèle Heine-Méray-Cantor. La définition des nombres irrationnels, dans ce modèle, est basée sur les suites de Bolzano-Cauchy de nombres rationnels.

Besides the Germans Eduard Heine (1821-1881) and Georg Cantor (1845-1918), French Charles Meray, born November 12, 1835 in Chalon-surSaone, died February 2, 1911 in Dijon, made an outstanding contribution to the Construction of irrational numbers, the constituent elements of the set of real numbers ; and the teaching of mathematics. The year 2011 is the centenary of his death. Several methods have been used to construct irrational numbers. We explain the basis of the model HeineCantorMeray. The definition of irrational numbers, in this model is based on the BolzanoCauchy sequences of rational numbers.

1. Dichotomie entre l’enseignement et la recherche. Cet article aurait pu être intitulé : « Nombres irrationnels, de l’intuition géométrique à la formalisation analytique ». La construction des nombres réels peut être appréhendée suivant deux mouvements de pensée dans l’histoire des mathématiques. Le nombre rationnel, la fraction peut être génétiquement définie par rapport à l’esprit géométrique. C’est un mouvement de la géométrie vers l’analyse, voire même l’Algèbre. Dans les manuels d’enseignement de l’arithmétique en français, le nombre irrationnel n’était pas prononcé. Sur le plan didactique, en France, le nombre irrationnel fut exposé dans la continuité de l’esprit géométrique, comme un nombre incommensurable, en contraposition à la fraction, nombre commensurable. Le niveau d’enseignement était celui de la troisième du cycle secondaire dans les années 1930. Alors que dans les années 1910, le cours supérieur d’arithmétique portait déjà sur les nombres irrationnels. Ceux-ci étaient exposés à la suite des cours portant sur les extractions des racines. Plus précisemment, Les nombres irrationnels apparaissent quand on se propose d’extraire à 1/10n près, la racine me d’un nombre qui n’est pas une puissance me parfaite. Il y a donc un décalage entre la recherche sur les nombres irrationnels portant sur les suites de rationnels dès la fin du 19e siècle et le début du 20e siècle et l’enseignement des mathématiques en France et dans le monde francophone où le mot irrationnel apparaît rarement dans les manuels scolaires. Dans la recherche, pour construire le nombre irrationnel, l’analyse se libère de la géométrie, s’arithmétise en quelque sorte. On travaille sur les suites et sur les limites. C’est la naissance de l’arithmétique ou de la théorie des nombres, empruntant ses outils à l’algèbre et à la logique mathématique. Après les années 1960, les nombres irrationnels seront exposés dans la continuité de la théorie axiomatique des ensembles naissante.

2. Enseignement. L’intuition géométrique du nombre rationnel. Le mot rationnel est tiré du mot latin « ratio« . Il suggère l’idée d’une représentation des nombres rationnels comme quotient (la ratio) d’entiers relatifs. Le nombre 8/3 est appelé fraction. Pourquoi ? C’est la mesure d’une grandeur ; C’est un mode de détermination d’un segment multiple à partir d’un segment unité. Prenons deux segments de droite A|————|B et C|—|D. Quatre cas peuvent se présenter :
a) On choisit CD comme unité. AB est un multiple de CD. Le segment CD est contenu un nombre exact 4 de fois dans AB ; À partir de A, prenons sur AB le segment AE égal à CD, puis à la suite, EF = FG = GB = CD. Nous obtenons A|—|—|—|—|B et C|—|D.
b) Mode de détermination des fractions. La longueur de AB n’est pas un multiple de CD. Le segment unité CD n’est pas contenu un nombre exact de fois dans le segment AB. Mais si l’on divise CD en 3 parties égales, C|-|-|-|D ; chaque partie est dite partie aliquote du segment CD : CD/3 = CI = IJ=JD. La partie aliquote CI est multipliée 8 fois pour obtenir AB. A|-|-|-|-|-|-|-|-|B et C|-|I. Cette double opération de division puis de multiplication inaugure un nouveau nombre : La fraction. La mesure de AB est un nombre fractionnaire ou une fraction de CD.

AB = (CD ⁄3) × 8. Mieux AB = CD × 8 ⁄3.

Deux nombres sont nécessaires pour établir la mesure de AB. Une fraction ou nombre fractionnaire est un ensemble de 2 nombres entiers 8 et 3 ; l’un 3, appelé dénominateur (c’est-à-dire, il nomme les parties), indique en combien de parties égales (aliquotes) a-t-on partagé l’unité ; l’autre 8, appelé numérateur (nombre de parties) indique combien de parties aliquotes de l’unité sont contenues dans la longueur (grandeur) à mesurer. Le dénominateur 3 et le numérateur 8 s’appellent les termes d’une fraction.
Le symbole 8 ⁄3, est un opérateur. Il permet de transformer le segment CD en un autre segment AB.

c) Inverse des fractions. AB est l’unité donnée. Supposons que nous voulons mesurer le segment CD à partir de AB connue. CD est plus petit que AB. Partageons l’unité AB en huit (8) partie égales (ou partie aliquotes). Chaque partie est un huitième. Pour mesurer CD, prenons l’une de ces parties aliquotes pour nouvelle unité. CD contenant 3 de ces parties a pour mesure le nombre 3 : on dit trois huitièmes et cela s’écrit : 3 / 8. La fraction 3/8 est la mesure de CD. CD = (AB ⁄8) × 3. Mieux, CD = AB × 3 ⁄8. C’est l’inverse du résultat précédent.

d) Naissance des suites. Enfin il peut arriver qu’il n’existe aucune partie aliquote de l’unité ne se trouvant contenue dans la longueur du multiple considérée. On parle de partie aliquante. Le nombre mesurant la grandeur considérée est dit incommensurable avec l’unité irrationnelle. Divisons l’unité CD en 10 parties égales ; prenons le 1/10 de CD comme nouvelle unité et recommençons à mesurer avec cette nouvelle unité, nous aurons les mesures de deux longueurs, l’une inférieure à AB, l’autre supérieur à AB ; les 2 nombres correspondants a’/10 et a’+1/10 différents entre eux de 1/10 seront la mesure de AB à 1/10 près ; le premier par défaut, le second par excès. On obtient deux suites de nombres :

— a, a’/10, a »/100,..

— a+1, a’+1/10, a »+1/100, …

Une fraction est décimale quand son dénominateur est 10 ou une puissance de 10.Les nombres décimaux 0,25 = 25 ⁄100 et 2,47 = 247 ⁄100 sont des fractions décimales. Toute fraction peut s’écrire sous la forme d’un nombre décimal, qui soit leur partie décimale respective se termine par un nombre fini de chiffres, 0,75 ou 3,12345 ; soit elle se poursuit indéfiniment selon une certaine loi de répétition. Les quatre nombres suivants : 1,3333…; 1/3 = 0,333…; 3,256256256…; 271/13= 20,846153846153… sont des rationnels. De façon générale, tout nombre décimal dont la partie décimale est périodique, c’est-à-dire répète régulièrement les mêmes chiffres à partir d’un certain rang est rationnel.

3. Recherche. Nombres irrationnels et arithmétisation de l’analyse. L’irrationalité suggère l’écriture décimale d’un nombre. Quand la partie décimale est illimitée et non périodique, le nombre auquel elle est attachée est irrationnel. Ces derniers se scindent en deux catégories. Les nombres irrationnels, racines d’équations algébriques, dans le sens où √2 est la racine de l’équation à coefficients entiers x -2 = 0, sont appelés nombres algébriques ; cependant le nombre rationnel x = -p/q solution de l’équation qx+p = 0 est aussi algébrique. Les nombres transcendants comme π et e et d’autres sont non algébriques. Autant, il est très facile de démontrer qu’il existe beaucoup de nombres transcendants, autant il est difficile de montrer qu’un nombre comme ξ =0,12345678910111213 est transcendant.
L’ensemble des nombres réels est constitué pour le moment d’entiers naturels et relatifs, de rationnels, d’irrationnels algébriques et de nombres transcendants. Il a fallu attendre Georg Cantor, presque 2000 ans, la deuxième moitié du XIXe siècle, pour définir rigoureusement l’ensemble des nombres réels comme ensemble des classes d’équivalence des suites de Cauchy formées de nombres rationnels. En 1869, en provenance de Berlin, après son habilitation, Georg Cantor s’installe à Halle. Il intègre l’équipe d’analyse de son aîné Heine Edward. Celui-ci travaillait sur les séries trigonométriques suivant les voies ouvertes en analyse par Karl Weiestrass (1815-1897) et contestées par l’algébriste Léopold Kronecker (1823-1891). Heine encourage Cantor à travailler à la résolution de ce problème difficile. Le problème de l’unicité de la représentation d’une fonction arbitraire par une série trigonométrique fut initié par le Suisse Leonard Euler (1707-1783), développé à travers la physique mathématique par le Français Joseph Fourier (1768-1830), puis généralisé jusqu’aux cas où les coefficients des séries n’ont pas la forme des intégrales de Fourier par Bernhard Riemann (1826-1866). Heine avait obtenu peu de temps auparavant le résultat suivant : Une fonction continue, sauf en un nombre fini de points peut être représentée par une série trigonométrique de la forme ƒ(x) = ½ a0 + ∑ (ansinnx + bncosnx) sous la condition que la convergence de la série soit uniforme  » (1). C’est en s’attaquant à ce problème que Georg Cantor construisit une théorie des nombres réels équivalente à celle de Heine et a fortiori la théorie naïve des ensembles.

Belna Jean-Pierre : « Lorsque Cantor expose pour la première fois sa théorie des réels, celle de Weiestrass lui est déjà connue. Celle du mathématicien français Charles Meray (1835-1911), très voisine de la sienne, avait été publiée en 1869, mais il ne la connaissait pas. Celle de Dedekind paraît également en 1872. Mais c’est avec la théorie de Heine, publiée la même année, que le lien est le plus étroit. » (2) Le mathématicien allemand Richard Dedekind (1831-1916) construisit les nombres réels à l’aide de la technique des coupures. En 1872, Heine Edward publia Les éléments de la théorie des fonctions (3).
Jean Paul Colette : « En 1869, il [Charles Meray] publia un mémoire intitulé « Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données » (4), dans lequel il relève d’abord des lacunes sérieuses dans le raisonnement des mathématiciens depuis l’époque de Cauchy et reconnait les difficultés encourues par ces mathématiciens. En fait, Méray met en exergue le fait qui consiste à définir le nombre irrationnel comme la limite d’une suite de nombres rationnels sans trop tenir compte que l’existence même de la limite présuppose une définition des nombres réels » (5). Plus précisement, Meray signale la contradiction à définir un nombre irrationnel comme limite d’une suite de Cauchy de rationnels non convergente dans Q, l’ensemble des nombres rationnels. La difficulté paraissant épistémologique bloqua toute investigation d’ordre technique. Si une suite de Cauchy de rationnels est convergente dans Q, sa limite est rationnelle. Sinon cette suite est divergente et n’a pas de limite dans Q. Une suite ne peut pas à la fois être divergente dans un ensemble et posséder une limite dans le même ensemble. Lorsque les nombres réels sont clairement définis, ainsi que la notion de convergence dans l’ensemble des nombres réels, on peut prouver qu’un nombre irrationnel est limite d’une suite de Cauchy non convergente dans Q. Un instrument reste au coeur de la construction de l’ensemble des nombres réels : le critère de convergence de Bolzano-Cauchy. Pierre Dugac s’étonne que la notoriété de Bernard Bolzano (1781-1848) n’ait pas été considérée comme celle du baron Cauchy. Le moine Tchèque possédait bien avant Cauchy le critère attribué à ce dernier. Supposons qu’on veuille démontrer qu’une suite {an} soit convergente, c’est-à-dire admette une limite finie, a. La définition de la convergence, au sens de D’Alembert (1765) – Cauchy (1821), nous oblige à connaître à l’avance la valeur de cette limite. Dans la plupart des cas, a est malheureusement inconnue ; il est donc difficile d’estimer rigoureusement (a – an) (respectivement |an – a|). Pour sortir de cette impasse, le Tchèque Bernard Bolzano puis le Français Augustin Louis Cauchy (1789-1857) eurent l’idée de remplacer la convergence naturelle (aan) → 0 (respectivement |an – a| < ε ) pour tout n assez grand, par (an – am) → 0 (respectivement |an – an+k | < ε ) pour tous les successeurs am de an (pour tous les successeurs an+k de an) pour tout n assez grand. Si une suite de nombres rationnels est une suite de Cauchy, elle a une limite finie, mais cette limite est en général un nombre réel non rationnel. Le critère de Bolzano-Cauchy permet de démontrer la convergence d’une suite sans en connaître la limite à l’avance. Dans son mémoire, Méray indique ce critère – théorème selon lequel toute suite de rationnels convergente dans Q est une suite de Cauchy.
Pierre Dugac :  » Dans son mémoire sur les nombres irrationnels, Méray indique […] d’abord que deux principes étaient à cette époque le fondement essentiel de toutes les parties des mathématiques où intervenait la notion de limite. Le premier principe était qu’une suite croissante majorée (respectivement décroissante minorée) tend vers une limite. Le deuxième principe était qu’une « suite de Cauchy » tend vers une limite. […] Soit une variable progressive (c’est-à-dire une suite) v = (vn), nN, vn ∈ Q, qui tend vers une limite v ∈ Q […], alors v est une suite de Cauchy » (6). Les mathématiciens du XIX e siècle, entr’autres Bernard Bolzano, mirent en valeur la condition nécessaire du théorème. Sa réciproque est fausse dans Q. Toute suite de Cauchy n’est pas convergente dans Q. Ce théorème augure le passage de l’ensemble des nombres rationnels vers l’ensemble des nombres réels. Pour en démontrer la condition suffisante, constitutive de sa réciproque, l’abstraction d’un ensemble des nombres réels est prioritaire.
Pierre Dugac : « Si maintenant v est une suite de Cauchy, et s’il n’existe pas de nombre rationnel vers lequel converge v, on dira qu’une telle suite converge vers une limite fictive. L’introduction de nouveaux nombres, les limites fictives, va permettre à Meray de compléter Q. En effet, Méray définit d’abord la notion de suites de nombres rationnels équivalentes  » (P. Dugac, ibidem).
Soit une suite de nombres rationnels {an}. Cette suite converge quand |an+k – an | → 0 avec 1/n, quelque soit la valeur assignée à la limite. Les suites convergentes sans limites sont dites « limites fictives » et en termes de nombres elles sont appelées par Meray « nombres fictifs ». √i est la limite fictive de toute variable progressive a dont le carré approche i, et si la variable b est telle que ai – bj → 0, on dit alors que la limite fictive b est aussi i.
Toute définition, toute démonstration, toute opération portant sur les notions de limite, de suite voire même de continuité reposent pout tout n assez grand sur les inégalités de convergence D’Alembert-Cauchy : |an – a |<1/p ou |an – a |< ε ; sur le critère de Cauchy : |an + k – an |< ε et sur le critère d’équivalence des suites : |an – bn | < ε. Les démonstrations de convergence consistent à découper l’épsilon, la quantité infiniment petite positive, en autant de parts que de suites ou de limites en présence ε/2, ε/3, etc., de sorte que le résultat final soit inférieur à ε. En utilisant à la place de ε, tout autre multiple de ε, 2ε par exemple, les preuves de convergence restent valables.

4.Conclusion. On établit une relation d’équivalence entre deux suites de Cauchy de nombres rationnels an et bn de façon suivante : si lim (an – bn) = 0. Cette relation est réflexive, symétrique et transitive. On partitionne l’ensemble des suites de Cauchy rationnelles en classes d’équivalence. Un nombre réel est une classe d’équivalence de suites de Cauchy rationnelles.

5.Bibliographie.

1. Nathalie Charraud, Infini et Inconscient, Essai sur Georg Cantor, Paris, Anthropos, p. 40.
2. Belna Jean Pierre, Cantor, Paris, Les belles lettres, 2000, p. 61.
3. Voir, Jacqueline Boniface, Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’arithmétisation de l’analyse, Paris, Ellipses, 2002. J. Boniface a traduit en français des textes originaux de Heine, de Cantor et bien d’autres ; Elle a également reproduit des textes de Charles Meray.
4. Revue des Sociétés Savantes, Sci. math. phys. nat.,2, t. 4,pp 280-289, 1869.
5. Jean Paul Colette, Histoire des mathématiques, tome 2, Paris-Ottawa, Vuibert-Erpi, p.215.
6. Pierre Dugac, « Fondements de l’Analyse », Abrégé d’Histoire des mathématiques, p. 368.

6. Lexique mathématique kikongo – français.

Fraction a sur b : a/b : ndambu a tensamane b ;
racine de a : √a : sina dia a.
Huit tiers 8/3 : ndambu nana za ntatu (8/3) ;
ndambu 1/2) ;
ndambu yimosi yatatu (1/3) ;
ndambu yimosi yatanu (1/5) ;
ndambu tatu za nana (3/8) ;
ndambu nsambodia za kumi (7/10).
quotient : lukabu.
Dix pour cent : 10/100 (ou 10 %) ; ndandu kumi dia nkama.
nombre (compte, dénombrement) : lutangu;nombre (chiffre) : ntalu.
nombre entier : lutangu luamvimba.
nombre relatif : lutangu lutadila;
nombre fractionnaire : lutangu luandambu ; lutangu luankabu.
nombre irrationnel : lutangu luakondonkabu ; lutangu lualembondambu.
nombre réel : lutangu luakimonameso.

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