Le texte suivant nous a été envoyé par le mathématicien libanais Rachid Matta. Il porte des critiques à l’encontre de la définition que monsieur Rudolphe Bkouche assigne à la ligne droite. Pour éclairer le lecteur, monsieur Rachid Matta est auteur de Trois siècles de séduction dans la géométrie, Jounieh – LIBAN,2006 ; monsieur Rudolphe Bkouche a contribué à l’histoire de la géométrie dans l’ouvrage de monsieur Daniel Lehmann, Initiation à la géométrie, Paris, PUF, 1988. Le texte critique de monsieur Rachid Matta que voici alterne avec les propositions de monsieur R. Bkouche. Il ya deux niveaux de lecture dont nous attirons l’attention des lecteurs. Notes de l’éditeur.

La critique suivante de l’article de M. Rudolf bkouche aide les lecteurs à comprendre que la géométrie euclidienne est l’unique géométrie vraie.

«Qu’est-ce qu’une ligne droite» ?

Monsieur le Professeur Rudolf Bkouche, permettez-moi, avant de passer à la critique de votre article «Qu’est-ce qu’une ligne droite», de faire l‘introduction suivante :

La géométrie est la science fondamentale, et son élément principal est la ligne droite, car la relation entre trois lignes droites dans le plan régit tout ce qui existe dans l’espace métaphysique de la géométrie et dans l’espace physique où nous vivons. Cette relation est l’objet du cinquième postulat d’Euclide connu aussi sous le nom de postulat des parallèles.
La connaissance de la nature de la ligne droite est de la première importance, et pour entrer dans l’édifice de la géométrie il n’y a qu’une seule clef: la ligne droite. Celui qui ne peut détenir cette clef reste à jamais à l’extérieur de l’édifice de la science de l’éternel. Les informations utiles à la fin de cet article donnent plus de détails sur la ligne droite, mais pour le moment il suffit de comprendre qu’elle est l’étalon de l’exactitude dans l’espace.

Les définitions de la droite données dans le mémoire «Qu’est-ce qu’une ligne droite ?» ainsi que les définitions données dans le premier livre traduit en anglais par Sir William Heath ne fournissent pas la définition juste de la ligne droite. Dommage que la géométrie, mère nourricière de la raison humaine fut torturée par ceux qui sont censés défendre ses vérités éternelles et apprendre aux autres à bien raisonner.

Au risque de me répéter parfois, je vais traiter tous les paragraphes de cet article pour prévenir les générations futures de ne pas commettre les erreurs des mathématiciens qui donnèrent des définitions incapables de révéler la véritable nature de la ligne droite.

La plupart de mes idées sont tirées de mes deux ouvrages qui font partie du Recueil de «La Vérité Indéniable» comportant 4 ouvrages, tous ayant pour but d’expulser l’erreur de la mathématique et des sciences. «Les Démonstrations du Théorème de la Parallèle» et «Vingt-cinq Siècles de Séduction dans la Géométrie». Le premier ouvrage sera publié au mois de juin 2010, et les livres du second ouvrage seront publiés à partir de juillet 2010.

Les paragraphes du professeur Rudolf Bkouche suivent son nom, et ils sont reproduits intégralement à l’exception du numérotage introduit pour aider les lecteurs à mieux suivre l’exposé.

Quand il y des carreaux vides, ils sont occupés par des lettres grecques qui n’apparaissent pas, dans la version que j’ai adoptée.
Critique de l’article de M. Rudolf Bkouche « Qu’est-ce qu’une ligne droite»

I – Introduction

Rudolf Bkouche

1 – Pourquoi un article sur les diverses définitions de la droite ?
2 – D’abord pour rappeler qu’une définition se situe toujours dans un contexte, qu’elle n’est jamais première et qu’elle est autant point d’arrivée que point de départ, même si une fois énoncée elle permet de nouveaux départs.

3 – L’exigence de rigueur nous a appris la nécessité d’avoir des bases sûres pour travailler, mais on oublie trop souvent que la rigueur se construit, qu’elle n’est jamais donnée une fois pour toutes et que ce n’est qu’à la fin d’un travail qu’elle apparaît, occultant souvent le long effort qui l’a permise. C’est l’une des difficultés de l’enseignement des mathématiques que d’amener les élèves à prendre en charge l’exigence de rigueur.
Cela fait alors partie du métier de professeur que d’aller voir comment se construit la rigueur, ce qui renvoie en particulier à deux grandes questions, celle de la définition des objets sur lesquels on travaille, celle de la démonstration (1) qui reste au centre de l’activité mathématique, même si nous pensons que la démonstration ne relève pas des seules mathématiques.

4 – Plutôt que de faire une étude générale de la définition, nous avons préféré partir d’un objet de la géométrie élémentaire pour en montrer les diverses facettes.

5 – Il faudrait compléter ce travail par une étude de la façon dont ces diverses définitions interviennent, ou n’interviennent pas, dans le discours démonstratif pour montrer comment les définitions se construisent et se reconstruisent dans l’activité mathématique elle-même; si elles apparaissent comme un préalable à la mise en forme du discours mathématique, ce préalable se construit en même temps que le discours et ce n’est qu’en fin de parcours que les définitions apparaissent comme un préalable nécessaire (2).
La question est d’autant plus importante lorsqu’il s’agit d’enseignement des mathématiques si l’on considère que celui-ci participe de l’initiation à la rigueur du raisonnement.
────────────────────────────────────────────────
1. Rudolf Bkouche, “La démonstration : du réalisme au formalisme”, in La Démonstration, Mathématiques et Philosophie (2003)
2. Ferdinand Gonseth, La Géométrie et le Problème de l’Espace, volume 1, “La doctrine préalable” (1945)
────────────────────────────────────────────────
Rachid Matta

1 – Il n’y a pas de mal à ce que la ligne droite ait diverses définitions, mais il faut qu’elles donnent la vraie nature de la droite, et ne pas se contenter d’une propriété, car la véritable définition doit étaler toutes les propriétés de l’être géométrique défini et faire voir toutes ses possibilités.

2 – Les définitions, ayant le noble rôle de dévoiler la nature de l’être mathématique, ne doivent pas être un point d’arrivée, mais elles sont forcément un point de départ, sinon on ne saurait où aller. Les véritables définitions ne se construisent pas au cours de l’activité mathématique, mais elles sont un préalable incontournable au discours démonstratif. Le discours démonstratif doit véhiculer la vérité des propositions premières pour conduire avec rigueur à des conclusions vraies et contraignantes pour tout esprit sain qui respecte les lois de la pensée.

3 – La rigueur découle de la chaîne de raisonnements qui ont pour but de propager la vérité des définitions et des autres premiers principes par le cheminement le plus court et le plus élégant. Dès que la vérité subit des torts, la rigueur manque. Cette rigueur commence avec le début du discours démonstratif et elle n’attend point la fin du travail du mathématicien pour apparaître. Comment peut-on faire des déductions valides, si l’on n’est pas sûr de la méthode suivie? Bref, la rigueur ne se construit pas. Elle s’apprend en lisant les maîtres et en suivant leurs pas.

4 – L’objet de la géométrie élémentaire, dont il est question ici, est la ligne droite. Cet objet n’a qu’une seule facette, l’exactitude exposée par l’unique direction dans l’espace à trois dimensions. Cette unique direction est une propriété de la ligne droite qui découle de sa définition pertinente. L’exactitude ne peut être obtenue que par l’âme du géomètre appuyée sur sa norme ultime, DIEU.

5 – La démonstration relève des mathématiques seules, et elle doit partir des axiomes évidents et vrais pour conduire à des conclusions qui s’imposent à tout esprit sain. Ferdinand Gonseth n’a pas saisi le rôle de la définition dans la géométrie.

II – Des objets géométriques

Rudolf Bkouche

1 – Qu’est-ce qu’un objet géométrique ? Une réponse classique, s’appuyant sur la philosophie platonicienne, dit qu’un objet géométrique est un objet idéal. Mais une telle affirmation n’explique rien. Un objet idéal apparaît comme un objet mystérieux inventé, on ne sait trop pourquoi, par la secte des mathématiciens, et sur lesquels cette secte s’amuse à “faire des démonstrations”, celles-ci restant tout aussi mystérieuses que les objets sur lesquels elles opèrent.

2 – La question est donc moins de donner une définition des objets géométriques que de tenter d’expliciter comment l’on appréhende ces objets, que ce soit comme objets mondains, c’est-à-dire issus du monde extérieur, ou que ce soit comme objets de discours sur lesquels on peut raisonner selon les règles. Ce sont ces objets de discours qui constituent ce que l’on appelle les idéalités mathématiques et c’est sur eux que porte l’activité mathématique. Se pose alors la question du mode d’accès à ces objets de discours. Nous proposons de montrer ici, avec l’exemple de la droite, comment se constitue un concept géométrique ou plutôt les différentes formes d’un concept géométrique depuis les premières formulations proches de la connaissance empirique jusqu’aux formulations sophistiquées auxquelles conduit le développement de la géométrie. La question se pose alors de la place de ces diverses formulations dans l’enseignement.

Rachid Matta

1 – Les entités géométriques sont des êtres vivants dans l’espace de la géométrie, et leur vie est éternelle. Depuis que Lamartine a accordé une âme aux objets inanimés, l’emploi du mot objet pour les êtres géométriques ne m’inquiète pas. Mais, ces objets ne sont ni mystérieux, ni inventés, car ils existent depuis que leur principe le point est nécessaire à l’UN pour créer l’espace infini, absolu et à trois dimensions afin de servir de réceptacle pour les produits de l’unique principe d’extension.
Les mathématiciens authentiques, et surtout les géomètres, forment une secte, car il n’est pas donné à tout le monde d’entrer dans le temple de la géométrie. Les théorèmes, étant des vérités universelles et immuables, ne peuvent être démontrés avec certitude qu’à partir des principes vrais et évidents découverts par l’âme du géomètre dans l’unique source intarissable des vérités éternelles, connue sous le nom du Premier Géomètre ou de Dieu, créateur de la secte, qui avec le peu de géométrie qu’elle connaisse, la connaît comme Dieu. Cette secte connaît aussi que Dieu est infini, et que la pensée humaine est finie, et que la ligne droite a toujours une longueur finie.

2 – Il est impossible d’appréhender les objets géométriques ou d’établir des relations entre eux si l’on ignore leur nature qui doit être donnée par leurs définitions.
En géométrie, la définition peut et doit dévoiler entièrement et parfaitement la nature de l’être géométrique, tandis que dans les sciences de la nature et de l’homme, il est impossible d’atteindre cette perfection, et la définition est toujours à améliorer. Donc, les objets géométriques ne sont pas des objets mondains, car ils transcendent le monde matériel de la physique. Ils ne sont pas, non plus, les objets d’un discours formaliste stérile, car l’objet géométrique existe avant tout discours et son principe, le point, subsiste et fraternise avec l’éternité.
Pour accéder aux objets géométriques, il n’y a qu’un seul moyen, à savoir l’âme immatérielle et immortelle du géomètre, qui s’élève à son origine pour s’y appuyer et tracer en toute confiance la ligne droite pour servir d’étalon pour l’exactitude et pour corriger toutes les formulations proposées durant 2400 ans, depuis Platon jusqu’aux grands mathématiciens de l’an 2010. La plupart de ces derniers font souffrir terriblement la ligne droite en portant atteinte à son exactitude. Il fau attribuer cette malheur aux retombées néfastes des géométries non-euclidiennes.

III – De la ligne droite

Rudolf Bkouche

1 – Lorsque l’on pose à des étudiants de CAPES la question : qu’est-ce qu’une droite ? Certains ont l’impression que l’on se moque d’eux, tant la question leur semble facile. Et pourtant ils s’aperçoivent vite que la question est difficile et que l’on ne saurait y répondre en se contentant d’une définition. On peut évidemment répondre : une droite est un espace affine de dimension 1, mais cette réponse suppose que l’on connaisse l’algèbre linéaire, d’autre part que l’on se soit posé la question du rapport entre un espace affine de dimension 1 et un trait dessiné à la règle sur une feuille de papier ou au tableau noir.

2 – Dans Les Concepts Fondamentaux de la Science Enriques écrit, à propos du concept de ligne droite :

“Le concept de ligne droite dérive de l’étude de différents ordres de phénomènes :
1° De celle de corps solides, où la droite entre comme axe dont les points restent immobiles pendant la durée d’une rotation (à l’image d’un fil tendu, etc.) ;
2° De la dynamique du point matériel, ou la droite se présente comme trajectoire d’un point dont le mouvement n’est influencé par aucun des corps qui l’entoure ;
3° De l’optique, et en général, de l’étude des radiations où la droite se présente comme un rayon ou ligne de symétrie des phénomènes, dans n’importe quel milieu, que la comparaison d’expériences déterminées révèle comme homogène.”(3)

Comment ces trois ordres de phénomènes peuvent-ils conduire à un même concept, celui de droite ? Enriques insiste alors sur “la concordance des différentes façons d’envisager la droite comme axe et comme rayon”, c’est cette concordance “qui nous permet de subsumer deux catégories différentes de phénomènes sous une même représentation géométrique”. On peut alors considérer que le concept géométrique de droite unifie ces divers modes d’appréhension de ce que nous appelons une ligne droite. On peut voir dans cette unification une des premières formes de ce que le physicien Wigner a appelé la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la Nature (4).
Mais quel est le statut de cet objet unifiant divers objets venus du monde ? Pour aborder cette question nous examinerons diverses définitions de la ligne droite qui ont été données tout au long de l’histoire. La diversité de ces définitions que l’on rencontre dans les divers traités de géométrie montre la diversité des références (optique, mécanique et autres), ce qui explique la tentative d’énoncer une définition qui transcende ces références, voire de donner une définition indépendante de toute référence mondaine.
Nous distinguerons alors d’une part les définitions empiriques, renvoyant aux phénomènes que le concept de droite se propose de représenter et les définitions proprement mathématiques, ces dernières se divisant en définitions ontologiques, c’est-à-dire renvoyant à des objets antérieurs au discours, et en définitions langagières.
Nous ajouterons, pour terminer ce paragraphe que la recherche d’une “bonne” définition de la droite joue un rôle important dans le développement des mathématiques, dans la mesure où elle est au cœur de la relation entre le monde sensible et le monde des idées pures censé être le domaine du mathématicien. C’est que l’on peut lire chez Aristote qui écrit :

“La géométrie, en effet, examine la ligne physique, mais pas en tant que physique, alors que l’optique étudie la ligne mathématique, non pas en tant que mathématique, mais en tant que physique.” (5)

Cette distinction peut être précisée si l’on revient sur le sens des termes “mathématique”
() et “physique” () chez Aristote. Le terme renvoie à la connaissance de la nature, c’est-à-dire aux objets de la connaissance empirique, le terme renvoie à la connaissance scientifique, celle que nous atteignons par la démonstration. Ainsi Aristote distingue l’objet physique donné par la connaissance empirique, ici la ligne considérée comme rayon lumineux, et l’objet mathématique qui intervient dans le discours démonstratif. C’est la démonstration qui donne aux objets leur statut d’idéalité mathématique, autrement dit, y compris dans les mathématiques euclidiennes, c’est le langage qui modèle les objets. Il faut alors, pour éviter tout malentendu, distinguer entre la chose qui nous est donnée par la connaissance empirique et l’objet, lequel représente la chose via le discours. C’est cette réduction au discours qui constitue la science rationnelle, celle qui se construit via le raisonnement comme l’explique Aristote dans les Seconds Analytiques :

“connaître scientifiquement c’est savoir par démonstration”(6)
Nous rencontrons ici une ambiguïté qui est au cœur des mathématiques, ambiguïté qui apparaît dans l’ouvrage qui a constitué le modèle de la rigueur mathématique jusqu’au XIXème siècle, les Eléments d’Euclide. La définition de la droite dans les Eléments qui semble être l’une des premières définitions mathématiques de la droite n’intervient pas en tant que telle dans les démonstrations de l’ouvrage, même si la droite apparaît l’un des objets importants de l’ouvrage.
La définition de la droite se précisera avec les développements du champ géométrique, d’abord avec la géométrie analytique qui réduira la définition de la droite à une équation, puis avec le développement du calcul vectoriel et de l’algèbre linéaire, ce qui posera la question du rapport entre les définitions sophistiquées des mathématiques d’aujourd’hui et les premières définitions, que ce soient les définitions empiriques ou les premières définitions mathématiques telle celle d’Euclide. On peut alors noter que les définitions sophistiquées de l’époque moderne, en même temps qu’elles précisent le concept de droite, mettent en avant son caractère opératoire, rappelant combien les aspects conceptuels et les aspects opératoires sont liés et combien il est difficile, voire impossible de les séparer.
────────────────────────────────────────────────
3. Federigo Enriques, Les Concepts Fondamentaux de la Science (1913), p. 14
4. E.P. Wigner, “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, Comm. Pure and Applied Math. (1960)
5. Aristote, Physique, Livre II, p. 123
6. Aristote, Les Seconds Analytiques, p. 67
────────────────────────────────────────────────

Rachid Matta

1 – Les étudiants de CAPES auxquels on pose la question: «qu’est-ce qu’une droite?» ont le plein droit de croire qu’on se moque d’eux, parce qu’ils ont saisi la nature de la droite par la lumière innée de leurs raisons. Cette lumière leur fut accordée à leur naissance.

Lorsqu’ils s’aperçoivent que la question est difficile, c’est parce que leurs enseignants et les programmes enseignés ont perturbé leurs raisons et dissipé leur lumière innée. Les mathématiques modernes ont détruit, non seulement la vérité, mais elles ont détruit aussi la simplicité des élèves par des paradoxes et des notions compliquées et erronées.
Pour qu’un élève réponde : « une droite est un espace affine de dimension 1» il faut qu’il répète machinalement une définition apprise sans aucune assimilation de son contenu. Pour savoir ce qu’est un espace affine de dimension 1, il faut que l’étudiant soit arrivé en classes terminales au moins. De plus les notions fondamentales de longueur et d’angle sont ignorées dans la géométrie affine.

Le concept de la ligne droite proposé par Enriques est empirique, alors que les éléments de la géométrie sont purs. De plus il ne nous renseigne rien sur la ligne droite. En effet, pour que l’axe d’un solide puisse être considéré une ligne droite, il faut connaître au préalable ce qu’est une ligne droite. D’ailleurs l’axe est invisible, et comment savoir s’il reste immobile ?
En dynamique le point matériel est doué d’une masse qui a une extension, donc il décrit un faisceau de lignes qui ne peuvent être lignes droites car dans le monde matériel l’exactitude n’existe pas.
Quant à l’optique, c’est le concept de ligne droite qui permet d’affirmer que le trajet du rayon lumineux est une ligne droite. Pour être juste, il faut dire que le rayon lumineux suit une trajectoire qui s’approche de la ligne droite.
Ce que le physicien Wigner appelle « déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature » n’est pas dû à la déraison, mais plutôt au Premier Géomètre qui a créé tout ce qui existe dans l’espace physique pénétré par les relations mathématiques universelles, immuables et éternelles. Donc, rien de déraisonnable, pour celui qui connaît la véritable nature de la mathématique.

IV – «Définitions empiriques»

Rudolf Bkouche

1 – Par définition empirique nous entendons une définition qui renvoie à la connaissance sensible tout en précisant que la forme langagière de la définition marque déjà un dépassement de l’empirisme, une première forme d’abstraction pourrait-on dire. Autant dire qu’il n’existe pas de définition empirique pure, que toute définition est une reconstruction langagière de cette partie du monde que l’on se propose d’appréhender.
Parmi les définitions empiriques, nous noterons les définitions optiques, les définitions comme limites et les définitions mécaniques

Rachid Matta

1 – La ligne droite est un être de l’espace de la géométrie, donc elle est métaphysique et elle n’a pas de largeur. Alors que dans le monde physique il y a toujours un faisceau de droites, et ces droites ne peuvent jouir de l’exactitude à cause de l’imperfection de la matière. Donc la désignation droite matérielle est impropre. De plus il est impossible de vérifier la rectitude d’une droite du faisceau matériel, car dans ce monde où nous vivons il n’y a pas d’étalon exact, et la ligne du faisceau ne peut jamais jouir de l’exactitude de la ligne géométrique.
Les définitions empiriques sont automatiquement rejetées, car elles ne peuvent atteindre la nature de l’être qui les transcende.

2 – la définition optique (le regard et la lumière)

Rudolf Bkouche

1 – On énonce souvent cette propriété que la lumière se propage en ligne droite, par contre, pour définir une ligne droite on renvoie aux rayons lumineux, ce qui semble être un cercle. En fait il n’y a pas de cercle si l’on remarque que l’idée de ligne droite renvoie au trajet de la lumière, ou plutôt, à la ligne du regard. Que signifie “aller tout droit”, ou “aller droit devant soi”, sinon suivre la ligne définie par le regard ? C’est ainsi que lorsque l’on va chercher un objet, à moins qu’il y ait un obstacle matériel, on va “tout droit” vers cet objet, c’est-à-dire qu’on suit la ligne définie par le regard qui va de l’oeil à l’objet.
2 – Les Anciens expliquaient que la lumière va de l’oeil aux objets, il s’agit alors moins du trajet lumineux au sens moderne que du regard qui va effectivement de l’oeil aux objets.
Et l’on sait que pour vérifier que trois points sont alignés, il suffit, se plaçant à l’un des points extrêmes, de regarder les autres points. Si l’on ne voit qu’un seul point, c’est que ces points sont alignés. C’est ainsi que l’on peut comprendre cette phrase du Parménide de Platon qui dit qu’on appelle droit “ce dont le milieu est en avant des deux extrémités”7 comme l’explique Vitrac dans son commentaire de la définition euclidienne de la droite8.
3 – Dans son Essai Critique sur les Principes Fondamentaux de la Géométrie Elémentaire, Hoüel précise ce point de vue optique en écrivant, à propos d’un observateur qui se propose de marcher vers un point qu’il aperçoit :

“L’instinct le porte à marcher dans la direction suivant laquelle ce point lui envoie ses impressions lumineuses.”9

et il ajoute :

“La preuve que ce procédé est instinctif, c’est qu’il est suivi par tous les animaux.”

Hoüel distingue alors l’instinct, lequel est naturel, au sens qu’il est suivi par tous les animaux, de l’expérience, laquelle fait appel à la réflexion. Il y a ainsi un caractère instinctif de la droite qui précède toute expérience. On peut alors considérer que le caractère empirique de la notion de droite marque le passage de l’instinctif à l’expérience.
──────────────────────────────────────────────
7. Platon, Parménide, p. 227
8. Euclide, Les Eléments, volume 1, p. 154
9. Jules Hoüel, Essai Critique sur les Principes Fondamentaux de la Géométrie, p. 63

Rachid Matta

1 – Pour dire que la lumière se propage en ligne droite il faut faire passer le rayon lumineux à travers trois ouvertures très petites et alignées. En bouchant l’un des deux premières ouvertures, la lumière ne peut plus atteindre la troisième ouverture. La définition de la droite géométrique doit précéder cette propriété de la lumière qui consiste à se propager en ligne droite.

2 – Les anciens devaient avoir au préalable une ligne droite pour dire que la lumière se propage en ligne droite. Ils saisissaient intuitivement la nature de la ligne droite sans pouvoir l’exprimer par une bonne définition. Il ne faut pas oublier que la lumière se propage en faisceau de lignes qui s’approchent de la ligne droite.

3 – Quant à l’observateur de Hoüel qui suit son instinct, personne ne peut affirmer qu’il marche en ligne droite. Ni le caractère instinctif, ni l’expérience ne peuvent révéler la nature de la ligne droite.

3 – la droite comme limite

Rudolf Bkouche

1)- Les notions de limite et de frontière10 sont introduites dans les Eléments d’Euclide pas les définitions suivantes :

13- Une frontière est ce qui est limite de quelque chose
14- Une figure est ce qui est contenu par quelques frontières

19- Les figures rectilignes sont les figures contenues par des droites ……11

Rachid Matta

Pour Euclide la limite est dans l’espace métaphysique de la géométrie, et elle peut être atteinte par la pensée, qui est l’activité de l’âme.
Euclide a toujours considéré que la géométrie est une science pure, donc immatérielle. Les principes de la géométrie et ses entités ne peuvent appartenir au monde physique dans lequel nous vivons.

Rudolf Bkouche

Dans un ouvrage posthume intitulé the common sense of the exact sciences, Clifford explique le caractère empirique de la notion de limite (boundary) : surface, ligne ou point, précisant :
“The important thing to notice is that we are not here talking of ideas or imaginary conceptions, but only making common-sense observations about matters of every-day experience.”12

La notion de limite ne suffit pas cependant pour distinguer les surfaces planes parmi les surfaces et les lignes droites parmi les lignes. Clifford explique alors :

“The plane surface may be defined as one which is of the same shape all over and on both sides.”13

et il précise, s’appuyant sur le mouvement et la notion de congruence dont il a déjà parlé
:
“This property is sometimes more technically expressed by saying that a plane is a surface which divides space into congruent regions.”

Clifford définit d’une façon analogue la ligne droite :

“It is a division between two parts of a plane, which two parts are, so far as the dividing line is concerned, of the same shape ; or we may say what comes to the same effect, that a straight line is a line of the same shape all along and on both sides.”14

Rachid Matta

L’explication empirique de Clifford ne convient pas à la limite définie par Euclide, car tout ce qui est empirique ne peut se libérer de la matière qui l’oblige à avoir une longueur, une largeur et une épaisseur. Sa définition de la droite comme intersection de deux plans ne donne pas la nature de la droite. De plus la définition de la droite doit précéder celle du plan. Pour parler de deux figures de même forme, il faut définir au préalable la ligne droite, démontrer qu’il y une seule parallèle à une droite donnée dans le plan pour pouvoir établir que deux triangles ayant leurs angles égaux deux à deux sont semblables.

Il faut remarquer que Clifford n’a pu avoir la netteté d’esprit qui a caractérisé Euclide. L’auteur des «Éléments» était inspiré par Dieu en rédigeant les treize livres qui ont formé la raison humaine durant 2300 ans.

Rudolf Bkouche

2)- On retrouve encore la définition comme limite dans le traité de Rouché et Comberousse qui écrivent au début de leur traité :

“Le volume d’un corps matériel est l’étendue d’un lieu que ce corps occupe dans l’espace. Ce lieu est essentiellement limité ; sa limite, qui le sépare de l’espace environnant, prend le nom de surface. Les diverses faces d’un corps sont autant de surfaces dont les limites ou les intersections mutuelles s’appellent lignes. Enfin on donne le nom de points aux limites ou extrémités d’une ligne, aux intersections mutuelles des lignes.”15

et ajoutent :

“Ces idées de surface, de ligne et de point, étant une fois acquises par la considération des corps, la surface, la ligne et le point peuvent ensuite être conçus indépendamment du corps, des surfaces et des lignes dont ils constituent les limites. C’est ainsi qu’on arrive à regarder inversement une ligne comme le lieu des positions successives d’un point mobile, et une surface comme le lieu des positions successives d’une ligne qui se meut suivant une loi déterminée.”

Ainsi le lien entre la définition en tant que limite et la définition en tant que trajectoire est accepté sans discussion.
La ligne droite est alors “définie” comme “la plus simple de toutes les lignes” dont “la notion est familière à tout le monde, et dont un fil tendu offre l’image”.

Rachid Matta

2 – Rouché et Comberousse commettent une grande erreur logique en définissant le point, à partir de ses dérivés. C’est un sophisme impardonnable auquel n’a pas échappé le grand philosophe Aristote. Leurs définitions ne nous apprennent rien. Quant à leur définition de la droite comme: «la plus simple de toutes les lignes dont la notion est familière à tout le monde, et dont un fil tendu offre l’image» elle est naïve, et elle est due à leur incapacité de donner une définition pertinente de la ligne droite.

Si la notion est familière à tout le monde, pourquoi, alors, beaucoup de mathématiciens se sont efforcés pour la définir?

La définition de Rouché et Comberousse est dépassée, et de loin, par celle d’Euclide. Euclide, au moins, oriente notre pensée vers ce que doit être une ligne droite.

4 – les définitions imagées

Rudolf Bkouche

Plutôt que d’énoncer une définition illusoire, de nombreux ouvrages d’enseignement préfèrent renvoyer à des images significatives, celle du rayon lumineux et celle du fil tendu étant parmi les plus fréquentes.
Quant à Méray, qui veut développer un enseignement de la géométrie qui s’appuie sur “la vision des faits de l’espace”16, il écrit
“L’idée de ligne nous vient des corps très allongés, mais extrêmement déliés dans tous les autres sens, comme un fil très fin, la trace lumineuse apparente d’un point brillant animé d’une très grande vitesse, celle laissée sur un corps quelconque par un morceau de craie, un petit pinceau chargé de couleur, etc”17

Rachid Matta

Cette conception de la ligne droite ne peut jamais conduire à la compréhension de la nature de la ligne droite. Elle n’est d’aucun secours pour le mathématicien. Elle est plutôt destinée à ceux qui ignorent la géométrie et aux débutants dans l’étude de la géométrie.

5 – les définitions mécaniques

Rudolf Bkouche

1 – la droite comme trajectoire

Dans ses Leçons de Géométrie élémentaire Hadamard présente, plus qu’il ne définit, la notion de ligne de la façon suivante :

“Elle peut être considérée comme engendrée par un point qui se déplace sur elle”18

et il donne l’exemple d’une ligne tracée sur une feuille de papier avec la pointe d’un crayon.
La ligne droite est alors définie comme la plus simple des lignes “dont le fil tendu nous donne l’image”19.
En fait si la définition d’une ligne comme trajectoire est aisée, celle d’une ligne droite est plus complexe et s’appuie sur le principe d’inertie que Descartes formulait ainsi dans ses
Principes de Philosophie :
“Que tout corps qui se meut tend à continuer son mouvement en ligne droite”20

Et que Newton précisera de la façon suivante :
“Every body continues in its state or rest, or of uniform motion in a right line, unless it
is compelled to change that state by forces impressed upon it”21

Si on peut considérer la définition d’une ligne comme trajectoire comme relevant de la connaissance empirique, le recours au principe d’inertie pour définir une ligne droite s’inscrit dans un cadre théorique que l’on peut considérer comme un principe de simplicité, ce qui pose la question du simple, question que nous ne pouvons aborder dans le cadre de ce texte22. Pour montrer la complexité de la notion de “simple”, nous rappellerons que, pour les géomètres grecs, c’est le mouvement circulaire qui est le mouvement le plus simple.

Rachid Matta

1 – la droite comme trajectoire

La définition suivante de Hadamard « Elle peut être considérée comme engendrée par un point qui se déplace sur elle » n’est pas seulement inefficace, mais elle peut s’appliquer à toute ligne sur laquelle se déplace un point. La ligne tracée sur un papier n’est pas une ligne géométrique, car elle a nécessairement une largeur.
Hadamard aurait mieux fait de dire : la ligne droite est engendrée par un point qui se déplace sue elle sans tourner.

La définition d’une ligne droite ne peut provenir du principe d’inertie formulé par Descartes dans ses Principes de Philosophie, car l’énoncé du principe d’inertie suppose l’existence préalable de la ligne droite,

«Que tout corps qui se meut tend à continuer son mouvement en ligne droite »

Newton énonce ce principe d’une façon plus claire et plus explicative :

« Every body continues in its state or rest or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed upon it»

Ce principe d’inertie suppose le mouvement rectiligne uniforme qui présuppose deux choses :
1)- L’existence préalable de la ligne droite.
2)- La nullité de la résultante des forces appliquées au point matériel. Or, ce fait n’est jamais vérifié dans le monde où nous vivons, à moins que Dieu n’intervienne pour maintenir l’égalité des forces actives et passives.

2 – l’approche instrumentale

Rudolf Bkouche

L’approche instrumentale est une forme particulière de la définition comme trajectoire au sens où la droite dessinée est la trace d’un point guidé par l’instrument de dessin.
Pour aborder cette approche instrumentale, nous rappelons les trois premiers postulats énoncés par Euclide, déjà cités “Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point.”

“Et de prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée.”

“Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle.”

Ces postulats affirment la possibilité de constructions même lorsque celles-ci sont matériellement impossibles. En cela ces postulats assurent le lien entre constructions instrumentales et définitions conceptuelles, ce qu’Abel Rey résume de la façon suivante
:
“La règle et le compas (ne sont) que le symbole des idées claires et distinctes de la droite et du cercle”23

Rachid Matta

L’approche instrumentale n’est pas une forme de la définition, car l’instrument est conçu et fabriqué pour exécuter une approximation de l’être géométrique concerné par la définition. Les trois premiers postulats d’Euclide utilisent les instruments mentaux bien compris par Abel Rey.
Même si la ligne droite tracée par la règle et le cercle tracé par le compas sur la feuille de papier sont inexacts, le raisonnement porte toujours sur la ligne droite et le cercle exacts tracés dans l’espace de la géomètre où l’âme corrige les défauts inévitables dus à la matérialité des instruments.

V – Des définitions dites mathématiques

Rudolf Bkouche

1 – Nous commencerons par la remarque suivante qui prolonge celles de Féderigo Enriques citées ci-dessus. Les diverses définitions énoncées ci-dessus conduisent à définir un objet unique rendant compte à la fois des phénomènes optiques et des phénomènes mécaniques cités. On peut, il est vrai, les relier en remarquant que pour vérifier la rectitude d’une droite matérielle on peut recourir au procédé visuel attribué à Platon. Mais il y a plus, comme le remarque Enriques, la rectitude du rayon lumineux marque une propriété de symétrie que l’on retrouve, à l’époque classique, avec le principe d’inertie. Propriété que l’on retrouve encore dans la notion de verticale : un objet lâché tombe tout droit vers le sol ce qui indique la direction de la verticale, de même le fil à plomb indique la direction de la verticale ; on peut alors remarquer que le fil à plomb, laissé à lui- même, est tendu ce qui renvoie à la définition de la droite comme fil tendu.
Ainsi la connaissance empirique nous conduit à mettre en relation24 divers phénomènes
Cela dit, nous distinguerons deux types de définitions mathématiques, d’une part les définitions ontologiques qui s’appuient sur l’existence préalable des objets, la définition apparaissant essentiellement comme une description, relevant ainsi de ce que les philosophes de Port-Royal appelaient des définitions de choses25, d’autre part les définitions langagières.

Rachid Matta

Toutes les définitions données ne peuvent conduire à connaître l’essence de la ligne droite.

Rudolf Bkouche

définitions ontologiques

a)- Nous rappellerons d’abord la définition euclidienne de la ligne droite :

“Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elles.”26

Remarquons d’abord que cette définition n’apprend rien à qui ignore ce qu’est une ligne droite et qu’elle n’intervient pas en tant que telle dans les démonstrations, ce qui pose la question de la signification de cette définition. On pourrait d’ailleurs énoncer cette définition pour le cercle si on interprète cette définition comme exprimant que la droite (ou le cercle) est une courbe qui peut glisser sur elle-même sans se déformer. On peut en outre remarquer que la droite et le cercle sont les deux seules lignes du plan qui possèdent cette propriété27.

Rachid Matta

La définition euclidienne : « Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elles » nécessite la connaissance préalable de la définition de l’égalité. Or, la ligne droite est l’unique être qui permet de définir l’égalité. Donc il faut définir la ligne droite en utilisant la ligne droite elle-même. C’est ce que j’ai fait dans la définition proposée sur mon site http://www.mathtruth-rachidmatta.com.

L’âme d’Euclide a saisi intuitivement la nature de la ligne droite, mais elle n’a pu l’exprimer d’une manière mathématique rigoureuse et satisfaisante.
Dans toutes les démonstrations d’Euclide dans ses « Éléments » intervient la droite qui est placée également entre ses points et qui forme les côtés rectilignes de ses figures dans tous ses livres qui traitent de la géométrie.
On ne pourrait pas énoncer cette propriété pour le cercle, car la droite glisse sur elle-même si deux de ses points y restent, tandis que le cercle ne peut glisser sur elle-même si deux de ses points y restent que pour une seule position parmi l’infinité de positions dans le plan. La droite jouit de l’exactitude tandis que le cercle est une courbe, et par conséquent dépourvue d’exactitude.

La définition d’Euclide dit : que les points d’une ligne droite sont également placés dans l’espace pour que la ligne droite passant par ces points soit également placée entre eux. Cette définition exige deux choses :
1)- la notion de l’égalité.
2)- Une référence pour l’égalité des positions dans l’espace. Et, ces deux choses ne peuvent être fournies que par la ligne droite. Donc la définition n’a aucun intérêt pour comprendre ce qu’est une ligne droite. Mais, le grand mérite d’Euclide est de nous orienter dans la bonne direction en attirant notre attention sur ce que doit être une ligne droite. Une ligne droite doit s’étendre sans tourner d’aucun côté. Pour ce faire, il faut
l’existence préalable de la droite. Il faut donc que la ligne droite définisse elle-même, et que la superposition de deux points d’une partie quelconque de la ligne droite sur une autre partie quelconque implique la superposition des deux parties, quelle que soit la façon d’amener les deux parties à avoir deux points de contact.

Il faut aussi reconnaître à Euclide le mérite de n’avoir jamais recouru à l’empirisme pour définir les objets géométriques, et surtout la ligne droite. Son grand mérite est d’avoir saisi intuitivement la véritable nature de la ligne droite et de l’utiliser dans toutes ses propositions sans la déformer, contrairement à ses successeurs venus après 2300 ans.

Rudolf Bkouche

b)- D’autres définitions suivront qui relèvent d’une définition de chose, ainsi celle proposée par Archimède et reprise par Legendre qui définit la droite comme “le plus court chemin d’un point à un autre”, définition qui, pour être précisée, demande de définir l’expression “le plus court chemin”.

Rachid Matta

La définition d’Archimède et reprise par Legendre qui définit la ligne droite comme «le plus court chemin d’un point à un autre» est l’une des propriétés de la droite et non la bonne définition de la ligne droite. Archimède est le plus grand ingénieur de l’antiquité, et pour cela il se contenta du côté pratique qu’offre une propriété de la ligne droite.

Rudolf Bkouche

c)- Devant les difficultés de définir la droite, Arnauld explique dans ses Nouveaux Eléments de Géométrie :

“Nous n’avons point défini la ligne droite, parce que l’idée en est très claire d’elle-même,
& que tous les hommes conçoivent la même chose par ce mot”28

Rachid Matta

c) Arnauld camouffle les difficultés en expliquant dans ses Nouveaux Eléments de Géométrie:
« Nous n’avons point défini la ligne droite, parce que l’idée en est très claire d’elle-même, & que tous les hommes conçoivent la même chose par ce mot »
Arnauld, bien que grand esprit du 17ème siècle, n’a pas compris que les définitions de la géométrie doivent exposer la nature de l’être géométrique défini, et par conséquent elles ne peuvent être des définitions nominales. La droite n’est pas une idée simple, et les hommes ne conçoivent pas la même chose par ce mot, car les uns respectent son exactitude, tandis que d’autres la déforment sans pitié. Il suffit de consulter quelques mémoires contemporains pour entendre les gémissements de la ligne droite qui souffrent parce qu’elle refuse d’être déformée.

Rudolf Bkouche

d)- Dans leur traité déjà cité, Rouché et Comberousse expliquent, sans la définir, que la ligne droite, “la plus simple de toutes”, est une notion familière et renvoient au fil tendu.
Cette notion de simplicité est souvent reprise dans les ouvrages de géométrie et nous citerons Leibniz qui, dans un texte, non publié de son vivant, sur la caractéristique géométrique, énonce cette définition plus métaphysique que scientifique :

“La droite est la ligne déterminée par deux points”29

précisant que la droite est la seule ligne déterminée dès que l’on connaît deux de ses points; ainsi la droite peut être considérée comme la plus simple parmi les lignes passant par deux points, ce que Leibniz explique dans un autre texte sous la forme suivante:

“Ce qui est déterminé par la donnée de deux points est l’extensum le plus simple passant par eux, que nous appellerons droite.”30

Le caractère redondant des textes de Leibniz laisse entendre que Leibniz cherchait une “bonne” définition de la droite pour développer le calcul géométrique qu’il espérait.
La question d’une “bonne” définition de la droite est récurrente dans l’histoire des mathématiques; ainsi D’Alembert, après avoir évoqué la difficulté de la théorie des parallèles, écrit:

“On parviendrait plus facilement à la trouver (la démonstration du postulat des parallèles), si on avait une bonne définition de la ligne droite …” 31

Rachid Matta

Rouché et Comberousse n’apportent rien de nouveau à la connaissance de la ligne droite. Ils n’ont pas compris que c’est une entité pure et dépourvue de matière.
D’ailleurs, qui peut leur assurer que le fil tendu se superpose sur une ligne droite

Ni Leibnitz, ni D’Alembert n’ont donné une définition adéquate de la ligne droite?
D’Alembert a bien vu l’importance d’une bonne définition de la ligne droite, et de son rôle dans la solution du cinquième postulat d’Euclide.

3 – définitions langagières

Rudolf Bkouche

La difficulté d’énoncer une définition consistante de la droite implique que l’on ne peut échapper dans l’enseignement à une approche empirique, laquelle permet un premier développement de la géométrie élémentaire dès que l’on a énoncé quelques propriétés de la droite.
C’est seulement dans un second temps que l’on peut espérer des définitions purement langagières. Ici encore nous citerons deux types de définitions, les définitions analytiques et les définitions “à la Hilbert”.
Les définitions analytiques ne sont autres que les définitions de nom des philosophes de Port-Royal déjà cités. Exemple d’une telle définition, la définition du cercle dans les Eléments d’Euclide :

“Un cercle est une figure plane contenue dans une ligne unique (celle qui est appelée circonférence) par rapport à laquelle toutes les droites menées à sa rencontre à partir d’un unique point parmi ceux qui sont placés à l’intérieur de la figure, sont (jusqu’à la circonférence du cercle) égales entre elles.”32

Ici il suffit de connaître la signification des mots constituant la phrase pour savoir de quelle figure il s’agit, le rôle de la définition consistant à donner un nom à la figure ainsi définie.
Les définitions de nom ont cependant leur limite : une définition de nom s’exprime avec des mots, lesquels doivent eux-mêmes être définis. On retrouve ici le cercle du dictionnaire que l’on peut formuler de la façon suivante : un mot étant défini, on lit les définitions des divers mots utilisés dans la définition du premier mot et on recommence; on finit par rencontrer l’un des mots dont on cherche la définition, c’est cela qui constitue le cercle du dictionnaire. Ce qui rend incontournable l’usage de définitions de chose, aussi problématiques soient ces définitions. On comprend alors la position d’Arnauld refusant d’énoncer une définition de la droite. Mais ce refus n’élimine pas le problème.

Rachid Matta

L’approche empirique se comprend pour les débutants, mais dans les classes secondaires, il faut s’élever au monde de la géométrie et apprendre aux étudiants la véritable nature de la ligne droite.

Les deux types de définitions langagières citées dans l’article ne nous apprennent rien sur la nature de la droite.
Les définitions analytiques n’apprennent rien d’utile sur l’être géométrique défini, par exemple le triangle est une figure qui a trois côtés ou le cercle est une figure ronde, mais la définition du cercle dans les « Éléments d’Euclide» n’est pas une définition analytique, car elle donne la véritable nature du cercle. Elle nous apprend que pour construire un cercle il faut choisir un point fixe appelé centre et mener de ce centre à un point un segment de droite appelé rayon pour faire un tour complet autour du centre afin d’engendrer la circonférence du cercle. Donc tout point de la circonférence du cercle est situé à égale distance du centre du cercle et la circonférence divise le plan en deux régions : la région intérieure au cercle et la région extérieure au cercle. Pour passer de l’intérieur du cercle à l’extérieur, il faut obligatoirement rencontrer la circonférence en un certain point. Si Leibniz, Saccheri et leurs successeurs avaient compris la nature du cercle, ils n’auraient pas posé la question de la possibilité de l’intersection des cercles dans la première proposition du livre I d’Euclide relative à la construction d’un triangle équilatéral. Euclide ne fait pas voir le point d’intersection, mais il le démontre d’une façon logique irréprochable.

La définition euclidienne du cercle est une définition ontologique, car elle donne la véritable nature du cercle. Elle n’est pas une définition de nom.
Il faut le dire avec netteté qu’Arnauld n’a pas compris la nature profonde de la ligne droite, et pour cette raison il était incapable d’en donner une définition adéquate.

Rudolf Bkouche

Le formalisme hilbertien proposera une solution à ce problème, l’introduction de termes primitifs non définis, c’est-à-dire ne renvoyant à aucune signification extérieure, ces termes primitifs étant reliés par les axiomes, eux-mêmes ne renvoyant à aucune signification extérieure et apparaissant comme de simples règles d’usage des termes primitifs. Il ne s’agit pas de définition proprement dite, qu’elle soit de chose ou de nom, ou plutôt, s’il y a définition, celle-ci ne prend sens que via le développement du discours. Ainsi les termes primitifs : “points”, “droites”, “plans”, ne sont pas définis, mais leur signification interne se construit d’abord avec les axiomes qui en fixe les règles d’usage, ensuite avec le développement du discours démonstratif. Une fois le cadre mis en place, on peut énoncer des définitions analytiques introduisant de nouveaux objets, mais ces objets ne prennent sens que dans ce cadre, même si, pour des raisons extérieures au discours, ces objets renvoient à des significations plus générales.

Cela nous rappelle que si l’axiomatique hilbertienne constitue un cadre assurant la rigueur du discours démonstratif et les relations logiques entre les diverses propositions, elle a un rôle essentiellement méthodologique.

Rachid Matta

Les définitions «à la Hilbert» n’existent pas, car David Hilbert a considéré le point, la ligne droite et le plan comme des termes non définis et ne portant aucune vérité matérielle, et il s’est contenté d’établir des relations entre eux (bien sûr en comptant sur la connaissance acquise par les hommes chez Euclide), car sans cela il était incapable de proposer quelque chose de compréhensible. Que ces partisans développent la géométrie euclidienne en remplaçant successivement le point, la ligne droite et le plan par carotte, loup et caillou, et vous verrez que personne ne peut comprendre de quoi il s’agit.

Comment le formalisme peut établir des relations entre des choses dont on ignore leurs natures ?
Comment mettre sur un même niveau les principes et leurs dérivés?
Finalement, Hilbert a introduit un théorème parmi ses principes, à savoir l’axiome des parallèles. Or, la démonstration de ce postulat montre que David Hilbert s’est largement trompé.
Heureusement que Gödel a mis fin au projet de Hilbert, car c’est un projet dévastateur pour la raison humaine. Cette raison doit être nourrie par des vérités éternelles et non par un formalisme stérile qui a réduit la mathématique à un jeu et qui a poussé le délire à l’extrême.
Au nom de la logique, le formalisme a assassiné la logique et la raison humaine.

4 – définitions équationnelles

Rudolf Bkouche

Il faudrait, pour être complet, rappeler les définitions équationnelles de la géométrie analytique et les définitions issues de l’algèbre linéaire.

Les définitions équationnelles se relient à la géométrie analytique. Pour simplifier l’exposé nous nous bornerons à la géométrie plane. Un point du plan peut être défini, dans un repère donné (ici un repère dit cartésien), comme un couple de nombres, ses coordonnées, une courbe est alors définie comme une relation entre les coordonnées d’un point de la courbe ce qui se traduit pas une équation que l’on peut écrire sous la forme :
f(x,y) = 0
Une droite est alors représentée par une équation de la forme
ax + by + c = 0
La géométrie analytique permet alors de réduire les problèmes de géométrie à des problèmes de résolution d’équations, mais, en retour, on obtient une représentation géométrique des systèmes d’équations. Ce double mouvement apparaît dès l’invention de la méthode des coordonnées comme on peut le voir chez Descartes et chez Fermat.

Rachid Matta

Les définitions équationnelles se relient à la géométrie analytique, et cette géométrie admet le cinquième postulat d’Euclide qui ne peut être démontré sans la définition correcte de la ligne droite. Donc la définition de la ligne droite permet de connaître la propriété que possède la droite pour avoir une direction unique. À cette direction unique correspond un coefficient directeur constant. Dans ce cas nous pouvons écrire la forme cartésienne de l’équation de la droite :
ax+by+c= 0
La géométrie analytique pointille la ligne droite aussi finement que nous voulons, mais elle ne peut jamais nous fournir une droite géométrique continue. Descartes s’est fié trop au nombre, tandis que Fermat fut plus prudent, et dans son équation de la ligne droite, il a toujours considéré les cœfficients a, b et c comme des lignes, et non des nombres.

5 – définitions issues de l’algèbre linéaire

Rudolf Bkouche

Nous ne pouvons développer ici la façon dont la géométrie élémentaire s’est moulée dans l’algèbre linéaire jusqu’à en devenir un chapitre particulier, l’étude des espaces affines euclidiens de dimension 2 (le plan) ou 3 (l’espace) sur le corps des réels. Dans ce cadre une droite peut être définie comme un sous-espace affine de dimension 1 du plan ou de l’espace. Comme nous l’avons dit pour la géométrie analytique, on peut développer l’étude des espaces affines euclidiens dans un cadre purement algébrique; il faut cependant rappeler d’une part que l’algèbre linéaire est devenue une méthode puissante pour étudier la géométrie élémentaire comme le montrent par exemple les ouvrages de Jean Dieudonné 33, Marcel Berger34 et Michelle Audin35, d’autre part que cette représentation “algèbre linéaire” de la géométrie élémentaire conduit en retour à ce que l’on peut appeler la géométrisation de l’algèbre linéaire, ce que Bourbaki explique de la façon suivante :

“Dépassée en tant que science autonome et vivante, la géométrie classique s’est ainsi transfigurée en un langage universel de la mathématique contemporaine, d’une souplesse et d’une commodité incomparables.”36

Mais il y a ici plus qu’un langage, une façon de penser où la géométrie ouvre vers de nouvelles formes d’intuition en s’appuyant sur le lien entre la géométrie élémentaire et les espaces affines de dimension 2 ou 3 raconté ci-dessus. La géométrisation de l’algèbre linéaire apparaît alors comme un nouveau mode de pensée que l’on retrouve dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, mais ce n’est pas le lieu d’en parler ici. Mais il faut ici remarquer que la force intuitive de ce nouveau mode de pensée tient au lien avec les définitions empiriques de la géométrie élémentaire. Ainsi se constitue une autre forme de liaison entre les diverses définitions de la droite que l’on peut appeler avec Jean Dieudonné des “transferts d’intuition”37 et qui constitue ce que
Quine a appelé un “gonflement de l’ontologie” (38).

Rachid Matta

L’algèbre linéaire a besoin de la géométrie pour naître, donc on ne peut pas l’utiliser pour définir la ligne droite.
Les nombres réels ne peuvent remplir tous les points de la droite géométrique, et par conséquent l’algèbre linéaire ne peut pas définir la ligne droite. Tous les nombres sont forcément discrets, et les tentatives des arithméticiens durant les siècles passés pour leur accorder la continuité furent infructueuses. Toutes ces tentatives n’aboutissent pas à une mathématique exacte. Les grands esprits du 20ème siècle qui se sont fiés à l’algèbre linéaire pour fonder la géométrie d’Euclide ont commis une grande erreur. Ceux réunis sous le pseudonyme Bourbaki doivent rectifier leur citation suivante :

«Dépassée en tant que science autonome et vivante, la géométrie classique s’est ainsi transfigurée en un langage universel de la mathématique contemporaine, d’une souplesse et d’une commodité incomparables.»

La géométrie est l’unique science qui est autonome et vivante. C’est elle qui fonde l’arithmétique et toutes les sciences. Les vérités immuables de ses propositions et le mouvement dans l’espace à trois dimensions lui assurent la vie éternelle que les géométries non-euclidiennes, le formalisme de Hilbert et les structures de Bourbaki ont essayé en vain de la lui retirer. La faillite des contradicteurs d’Euclide s’est traduite par l’échec de toutes les réformes de l’enseignement scientifique depuis 1902.

Nos générations futures enseignées avec les mathématiques modernes sont des victimes innocentes, car leurs raisons sont perturbées par les théories erronées et fictives. Elles ne comprennent pas pourquoi les mathématiciens contemporains continuent à cultiver les géométries non-euclidiennes qui déforment la ligne droite. Cette attitude contribue à étouffer la vérité géométrique.

VI – Retour sur le concept de droite

Rudolf Bkouche

La diversité des définitions données ci-dessus montre à la fois la multiplicité de la notion de droite et en même temps la profonde unité qui relie ces diverses définitions.
Mais en quoi consiste cette unité ? Il suffit de demander à des étudiants une lecture comparée de ces deux grandes somme de la géométrie du XXe siècle que sont les
Leçons de Géométrie Elémentaire de Jacques Hadamard et la Géométrie de Berger pour comprendre combien la question est difficile. Il est vrai que l’on y trouve les mêmes mots avec parfois les mêmes figures, mais les définitions sont différentes et les démonstrations semblent avoir peu de points communs.

Une vision moderniste conduirait à dire que le “bon” concept est le dernier39, mais une telle position ne résout rien, laissant en suspens les deux questions suivantes :
– Il est possible que l’on soit amené à forger un nouveau concept de droite englobant les concepts d’aujourd’hui. Quel sera alors le statut du dernier concept d’aujourd’hui ? Serait-il réduit à n’être qu’une simple étape préparant le concept suivant considéré comme le bon concept.
– Nous avons dit par ailleurs qu’une nouvelle formulation ne rend pas caduque une ancienne formulation. Ainsi la définition vectorielle ne détruit pas les définitions plus anciennes. Et point n’est besoin de passer par la définition vectorielle pour résoudre les problèmes de géométrie élémentaire. On sait de plus que la méconnaissance de la géométrie élémentaire ne permet pas de comprendre comment des théories plus sophistiquées, et par conséquent considérées comme plus performantes, permettent de résoudre des problèmes élémentaires. Ce qui nous ramène à une question posée au début de cet article : quel rapport entre un espace affine de dimension 1 et un trait tracé à la règle sur une feuille de papier ou sur tableau ?
On voit ainsi s’entremêler les diverses définitions d’un concept. La question est alors moins de faire le tri entre les anciennes formulations qui seraient devenus obsolètes et les nouvelles formulations que d’expliciter le domaine de validité de chacune d’elles. La question est alors moins de définir la bonne approche que de situer, en fonction du contexte, l’approche la plus adéquate par rapport aux questions que l’on se pose, c’est en partie cela qui doit guider l’enseignement.

Rachid Matta

1 – Il n’y a qu’une seule définition pour la ligne droite, celle qui expose sa véritable nature pour en déduire toutes ses propriétés. Les conclusions suivantes s’imposent :

1 – La vision moderniste, qui veut dire que le bon concept est le dernier, est inacceptable D’ailleurs, l’échec de la réforme des mathématiques modernes l’infirme.

──────────────────────────────────────────────────
10. Sur la distinction entre les termes frontière () et limite () nous renvoyons au commentaire de Bernard Vitrac in Euclide, Les Eléments, volume 1, p. 161
11. ibid. p. 161-164
12. William Kingdom Clifford, The common sense of the exact sciences, p. 45-46
13. ibid. p. 61
14. ibid. p. 61-62
15. Eugène Rouché et Charles de Comberousse, Traité de Géométrie, première partie : Géométrie Plane, p.1
16. Charles Méray, Nouveaux Eléments de Géométrie (1903), p. vii
17. Charles Méray, Nouveaux Eléments de Géométrie (1874), p. 2
18. Jacques Hadamard, Leçons de Géométrie élémentaire (géométrie plane), p. 1
19. ibid. p. 3
20. René Descartes, “Principes de la Philosophie” in OEuvres complètes, tome IX, p. 85
21. Isaac Newton, Principia, vol I, p. 13
22. Rudolf Bkouche, “Epistémologie, histoire et enseignement des mathématiques”, for the learning of mathematics (1997)
23. Abel Rey, La Science dans l’Antiquité, volume 5, “L’Apogée de la Science Technique Grecque : L’Essor de la Mathématique”, p.124
24. Notons que cette mise en relation montre que l’on a quitté le domaine purement empirique ; si la connaissance empirique apparaît ici comme un point de départ, c’est parce qu’on la dépasse que l’on crée
une nouvelle forme de connaissance que l’on peut appeler connaissance abstraite ou connaissance théorique.
25. Arnaud et Nicole, La Logique de Port-Royal, p. 120-124
26. Euclide, Les Eléments, volume 1, p. 154
27. Dans l’espace il existe une autre courbe possédant la propriété de glisser sur elle-même, l’hélice, ce qui montre la complexité de la définition euclidienne. Nous renvoyons au commentaire de Bernard Vitrac in Euclide, Les Eléments, volume I, p. 154-156
28. Antoine Arnauld, Nouveaux Eléments de Géométrie, p. 82
29. G. W. Leibniz, la caractéristique géométrique, p. 255
30. ibid. p. 279
31. Jean Le Rond D’Alembert, Essai sur les Eléments de Philosophie, p. 317
32. Euclide, Eléments, volume 1, p. 162
33Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire (1964)
34. Marcel Berger, Géométrie (1977)
35. Michelle Audin, Géométrie (1999)
36. Nicolas Bourbaki, Eléments d’histoire des mathématiques (1974) p. 174
37. Jean Dieudonné, “The universal domination of geometry”, (1980)
38. Quine, “Les deux dogmes de l’empirisme” (1980), p. 111
39. Ce fut la position de certains promoteurs de la réforme des mathématiques modernes, mais ce fut aussi l’une des raisons de son échec.
──────────────────────────────────────────────────

VII – Question pour terminer

Rudolf Bkouche

On considère les trois segments de droite suivants :
Combien y a-t-il de points sur le premier segment, sur le second, sur le troisième ?
Rappelons que dans certains ouvrages du début du XXe siècle, on parlait de l’ensemble des points d’une droite distinguant ainsi l’objet “droite” de l’ensemble des points qui lui appartiennent.

¬

Rachid Matta

Si les trois segments de droite d’inégales longueurs sont tracés en appliquant le premier postulat d’Euclide, la question «Combien y-a-t-il de points sur le premier segment, sur le second, sur le troisième » n’aurait pas de sens. Le point est le principe de la droite et tout principe transcende ses dérivés, car il est de nature différente.

Le réel est le fruit du mouvement, et la géométrie est l’unique science exacte qui forme la rationalité.

par l’étude des figures engendrées dans l’espace à trois dimensions en utilisant le mouvement, qui seul peut fournir la continuité pour conserver l’identité des éléments de la géométrie.
L’ensemble des points d’une droite n’a pas de sens, car la droite est engendrée uniquement par le mouvement à partir du principe d’extension, le point. L’arithmétique et la théorie des ensembles ne peuvent jamais exprimer la longueur du segment, ainsi 28 engendré. La définition moderne de la droite comme un ensemble de points apporte le plus grand tort à la géométrie et à la raison humaine, car le nombre discret ne peut jamais exprimer la continuité de la ligne droite. Seul le mouvement, engendrant une ligne droite, peut lui assurer la continuité. Les partisans de cette définition feront bien d’examiner avec un esprit critique les différentes versions de la théorie des ensembles pour comprendre qu’elles ne peuvent fournir le fondement ferme pour la mathématique. D’ailleurs, elles sont tuées par leurs paradoxes. Quand un paradoxe apparaît dans une théorie mathématique, il faut l’éliminer, sans pitié. Le plus grand tort infligé à la raison humaine est de l’obliger à vivre avec les paradoxes. C’est pourquoi, le grand physicien Pierre Gilles de Gennes a considéré : «Les mathématiques modernes » le plus grand fléau de l’humanité.
Rudolf Bkouche
VIII – Bibliographie
Ouvrages
Jean Le Rond D’Alembert, Essai sur les Eléments de Philosophie (1759), “Corpus des OEuvres de Philosophie en Langue Française”, Fayard, Paris 1986
Aristote, Seconds Analytiques, Organon IV, introduction, traduction, notes, biographie et index par Pierre Pellegrin, GF Flammarion, Paris 2005
Aristote, Physique, traduction et présentation par Pierre Pellegr in, GF Flammarion, Paris 2000
Antoine Arnauld, Nouveaux Eléments de Géométrie, Paris 1667
Antoine Arnauld et Pierre Nicole, La Logique ou l’Art de Penser (1662, cinquième édition 1683), Introduction de Louis Marin, “Champs”, Flammarion, Paris 1987
Michelle Audin, Géométrie, “De la licence à l’agrégation”, Belin, Paris 1999
Marcel Berger, Géométrie (5 volumes), CEDIC-Nathan, Paris 1977
Nicolas Bourbaki, Eléments d’Histoire des Mathématiques, nouvelle édition, Hermann, Paris 1974
William Kingdon Clifford, the common sense of the exact sciences, edited, and with a preface, by Karl Pearson, newly edited, with an introduction, by James R. Newman, preface by Bertrand Russell, Dover Publication, New York 1955
René Descartes, OEuvres complètes, édités par Charles Adam et Paul Tannery, 11 volumes, réédition Vrin, Paris 1996
Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, “Enseignement des sciences”, Hermann, Paris 1964
Federigo Enriques, Les Concepts Fondamentaux de la Science, traduit par Louis Rougier, “Bibliothèque de Philosophie scientifique”, Flammarion, Paris 1913
Euclide, Les Eléments, volume 1, Livres I à IV, introduction générale par Maurice Caveing, traduction et commentaires par Bernard Vitrac, “Bibliothèque d’Histoire des Sciences”, PUF, Paris 1990
Pierre de Fermat, OEuvres de Fermat, publiée sous la direction de Paul Tannery et Charles Henry, traduction de Paul Tannery, Gauthier-Villars
Ferdinand Gonseth, La Géométrie et le Problème de l’Espace, volume 1, “La doctrine préalable”, Ed itions du Griffon, Neuchâtel 1945
29
Jacques Hadamard, Leçons de Géométrie élémentaire I: Géométrie plane, Armand Colin, Paris 1947
David Hilbert, Les fondements de la géométrie (1899), édition critique avec introduction et compléments préparée par Paul Rossier, Dunod, Paris 1971
David Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and Imagination, translation by Nemenyi, Chelsea, New York 1952
Jules Hoüel, Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire, Gauthier-Villars, Paris 1867
entaux de la Géométrie (1868)
G.W. Leibniz, La caractéristique géométrique (1677-1685), Texte établi, introduit et annoté par Javier Echeverria, traduit annoté et post-facé par Marc Parmentier, Collection “Mathesis”, Vrin Paris 1995
Charles Méray, Nouveaux Eléments de Géométrie, Jobard, Dijon, 1903
Isaac Newton, Principia,
Platon, Théétète, Parménide, traductions et notes par Emile Chambry, Garnier-Flammarion, Paris 1967
Henri Poincaré, La Science et l’Hypothèse (1902), Flammarion, Paris 1968,
Abel Rey, La Science dans l’Antiquité, volume 5 : L’Apogée de la Science Technique Grecque (L’Essor de la Mathématique Grecque), Collection “L’Evolution de l’Humanité”, Albin Michel, Paris 1948.
Eugène Rouché et Charles de Comberousse, Traité de géométrie, première partie, Géométrie Plane, nouvelle édition, Gauthier-Villars, Paris 1929
Articles
Rudolf Bkouche, “Epistémologie, histoire et enseignement des mathématiques”, for the learning of mathematics, vol. 17, n°1, february 1997
14
1Rudolf Bkouche, “La démonstration : du réalisme au formalisme”, in La Démonstration, Mathématiques et Philosophie, coordonnée par Michèle Villetard-Tainmont, IREM de Lille, avril 2003
Jean Dieudonné, “The universal domination of geometry”, International Congress of Mathematical Education IV, Berkeley 1980
Quine, “Les deux dogmes de l’empirisme” in Pierre Jacob, De Vienne à Cambridge, Gallimard, Paris 1980
E.P. Wigner, “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, Comm. Pure and Applied Math. 13, 1960, p. 1-14
Rachid Mattta
La riche documentation de M. Rudolf Bkouche montre que tous les mathématiciens cités n’ont pas compris la nature de la ligne droite. Désormais, j’espère que les lecteurs de ces ouvrages ne tombent plus sous le charme de leurs auteurs. Il suffit de mettre en oeuvre sa raison critique pour que le mathématicien réalise que les grands mathématiciens du passé se sont largement trompés.
Avec toute sincérité je crois que la définition que j’ai proposée pour la ligne droite est la bonne. En tout cas j’accepterai avec plaisir toute amélioration.
30
La définition pertinente de la ligne droite
La véritable définition de la ligne droite a été donnée dans l’Appel du Premier octobre 2009. Je la reproduis ici.
Définition de la ligne droite:
«La ligne droite est une ligne dont deux parties quelconques s’appliquent l’une sur l’autre par l’application de deux points quelconques de l’une des deux parties sur l’autre, et ceci quelle que soit la façon de les appliquer.»
Comme aucun étalon ne préexiste pour le prendre comme référence de la ligne droite, donc il faut que la droite elle-même serve de référence.
La définition de la ligne droite permet de donner une propriété importante de la ligne droite, à savoir la ligne droite détermine une direction unique, et par conséquent quand une droite se déplace en conservant un angle constant avec une autre ligne droite, sa direction ne change pas et l’on dit qu’elle se déplace dans sa propre direction, ou parallèlement à elle-même. En langue anglaise on dit: «the straight line moves in its own direction». Donc, la notion de direction découle de la nature de la ligne droite, et elle n’est pas une supposition comme l’ont cru beaucoup de mathématiciens.
Bien qu’Euclide, n’a pu donner la définition exacte de la ligne droite, il a, au moins, le mérite incontestable de diriger notre attention vers ce que doit être une ligne droite. La droite utilisée par Euclide dans toutes ses démonstrations dans ses «Éléments» répond complètement à sa définition 4 de son premier livre. En effet tous les côtés rectilignes des figures sont bel et bien également placés entre leurs points.
IX – Conclusion
1 – Il n’est plus permis d’ignorer la nature de la ligne droite, et toute atteinte à son essence fait délirer la raison humaine.
L’échec de toutes les réformes de l’enseignement scientifique entreprises depuis 1902 en France et dans les autres pays est dû en très grande partie à l’ignorance de la nature de la droite.
2 – Une action rapide doit être prise pour interdire les géométries non-euclidiennes et tous les sites Internet qui déforment la ligne droite. Tout ouvrage écrit en faveur de ces géométries erronées et fictives a porté le plus grand tort à la rationalité des étudiants.
31
Quant aux sites Internet, ils sont invités à ne plus faire souffrir la raison humaine et surtout celles des étudiants dans les filières scientifiques.
3 – Il faut apprendre aux étudiants, dès l’école maternelle, qu’ils ont une âme immortelle et qu’elle est le sujet qui opère dans la géométrie. L’âme seule est capable de tracer une ligne droite de direction unique pour servir d’étalon pour l’exactitude.
Monsieur Rudolf Bkouche, professeur émérite, je vous invite avec vos pairs à propager la vérité mathématique dans le monde scientifique et à porter la communauté mathématique à réformer les programmes de l’enseignement scientifique pour chasser l’erreur et offrir le vrai. Un mathématicien courageux, honnête et compétent, comme vous, ne peut rester sans agir quand la vérité est concernée.
Il faut que les étudiants sachent que la mathématique est la science qui donne les principes aux autres sciences. Elle est formée de deux disciplines: la géométrie et l’arithmétique. L’arithmétique étudie la quantité discrète, tandis que la géométrie étudie la quantité continue et donne les principes à l’arithmétique. La géométrie est donc la science fondamentale pour toutes les sciences, et elle doit être enseignée dans toutes les disciplines. La géométrie doit être une science irréprochable, exacte et vraie. Or, la mise en doute du rôle de la géométrie à partir du 19ème siècle doit nous inciter à chercher les raisons qui ont conduit à priver les propositions de la géométrie euclidienne de leurs vérités après l’adoption des géométries non-euclidiennes. Ces géométries fictives ont scindé l’unité de la géométrie et elles ont causés le plus grand tort à la raison humaine.
Informations utiles
Il est utile d’insister sur les points suivants:
1 – La ligne droite est l’unique étalon de l’exactitude dans l’espace à trois dimensions de la géométrie, et tous les autres étalons de l’exactitude sont engendrés par elle, à commencer par la surface plane. La ligne droite engendre dans la surface plane le cercle la figure plane courbe la plus parfaite parmi les courbes. Un demi-cercle tournant autour de son diamètre engendre dans l’espace à trois dimensions la sphère, la figure solide la plus parfaite parmi les figures solides limitées par des surfaces courbes.
2 – La ligne droite symbolise la première dimension de l’espace.
3 – La ligne droite détermine le plus court chemin et elle sert donc d’unité pour mesurer les lignes.
4 – La ligne droite introduit le mouvement de translation.
32
5 – L’unicité de la ligne droite entre deux points de l’espace en fait la ligne idéale à être imitée par les autres lignes courbes, et pour s’en approcher il faut qu’elles perdent leurs gauchissements.
6 – La ligne droite offre l’unité uniforme à l’arithmétique pour produire les nombres.
7 – Deux droites qui se coupent engendrent la surface plane de deux dimensions.
8 – Toute droite qui coupe une surface plane engendre la troisième dimension de l’espace. 9 – La ligne droite permet donc d’affirmer que l’espace a trois dimensions.
10 – La droite et le cercle forment le couple primordial qui donne naissance à l’angle rectiligne et à toutes les figures ayant des côtés rectilignes.
11 – La définition pertinente de la ligne droite est celle qui permet de saisir son essence et d’exposer sa véritable nature.
12 – Les mathématiciens durant les 26 siècles qui nous séparent de Thalès, père de la géométrie démonstrative, n’ont pas pu définir adéquatement la ligne droite parce qu’ils n’ont pas saisi sa véritable nature. Cette carence les a empêchés de démontrer le théorème fondamental de la géométrie, pourtant très simple et facile pour celui qui a compris ce qu’est une ligne droite. En effet, l’énoncé du cinquième postulat, qui est fondateur de la géométrie, concerne le comportement de trois lignes droites dans la surface plane. Sa vérité éternelle pénètre toutes les figures de la géométrie, y compris la sphère, la pseudo-sphère engendrée par la tractrice.
13 – La géométrie analytique de Descartes et de Fermat découle de la relation entre trois lignes dans le plan exprimant que le carré de l’hypoténuse du triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux côtés adjacents au sommet de l’angle droit. Cette relation est connue sous le nom du théorème de Pythagore.
Il faut aussi signaler que la méconnaissance de la nature de la ligne droite par tous ceux qui ont essayé de démontrer le cinquième postulat d’Euclide au cours des 23 siècles passés a entraîné l’échec de toutes leurs tentatives de démonstration. Les mathématiciens ont commencé à déformer la ligne droite avec les hypothèses des angles aigus et obtus dans le quadrilatère fondamental connu sous le nom de quadrilatère de Saccheri.
Omar Al Khayyam, Saccheri, Lambert, Gauss, Bolyai et Lobachevsky ont déformé inconsciemment la ligne droite. Mais Riemann, Beltrami, Klein, Poincaré et tous les partisans des géométries non-euclidiennes l’ont déformée en toute connaissance de cause. Quant aux mathématiciens modernes et contemporains, ils surenchérissent sur leurs prédécesseurs en mutilant la ligne droite par la courbure de sa direction et par des définitions indignes de la perle de la géométrie.
Rachid Matta MATTA
Le 9 mars 2010

Texte écrit par monsieur rachid Matta et reçu le 2010/03/10 à 7:54

Ecrit par bocage dans : Fondements de la géométrie |

4 commentaires »

  • Hachem Rana

    Bonjour Mr Matta,

    je suis libanaise de Tannourine, j’ai une maitrise en mathématques pures de l’université libanaise et je prépare le CAPES de mathématiques à Paris.

    A propos de géométrie non-euclidienne je n’ai jamais pris de module dans ce sens et donc je ne sais pas trop en parler.

    A propos de votre définition sur la ligne droite.
    Définition de la ligne droite:
    «La ligne droite est une ligne dont deux parties quelconques s’appliquent l’une sur l’autre par l’application de deux points quelconques de l’une des deux parties sur l’autre, et ceci quelle que soit la façon de les appliquer.»

    Aidez moi à la comprendre.
    Qu’est-ce que vous entendez par:
    1- ‘partie d’une ligne droite’: un segment, une demi-droite ?
    2- Le verbe ’s’appliquer’: ca vient d’une application (fonction)?
    3- C’est quoi les ‘façons’ d’appliquer les points d’une partie aux points de l’autre partie.

    Votre définition n’est pas du tout claire !!!

    Autre chose, vous dites que les maths sont constitués que de la Géométrie et de l’Arithmétique. Sont partis où l’Analyse et l’Algèbre???

    Commentaire | 12 mars 2010
  • Chère Rana
    Merci pour votre commentaire, et je suis obligé d’être tendre dans cette réponse pour les deux raisons suivantes :
    1) Je suis de Ehmej, et nous sommes donc voisins.
    2) J’ai toujours une admiration pour les femmes mathématiciennes.
    Voici ma réponse à vos questions.
    1). Si vous avez une ligne droite (AB) et un point M sur cette droite, (AM] est une partie et [MB) est l’autre partie. Ces deux parties forment la ligne droite. Les notions de partie et du tout doivent être comprises par les étudiants de toutes les spécialités.
    Un segment de droite [AB] est la partie de la droite qui a le point A pour origine et le point B pour extrémité.
    Une demie droite [OX) est une partie de la droite sur laquelle on a pris une origine O. Je crois ces connaissances sont données dans le cycle complémentaire au Liban.
    3). Le verbe s’appliquer existe bien longtemps avant l’usage qui a en a été fait dans l’analyse.
    Il suffit de consulter le dictionnaire pour trouver le sens du mot application. Je cite le Robert Junior que mon fils Jawad acheta à l’âge de dix ans.
    Appliquer veut dire Mettre une chose sur une autre de façon à la recouvrir. Donc appliquer signifie placer, mettre, poser. C’est simple à comprendre.
    La géométrie est la science fondamentale de la mathématique, et si le mot application vous a renvoyée à l’application de l’analyse c’est la faute de vos enseignants dans l’Université libanaise qui ne savent pas ce qu’est la géométrie, car ils sont formés par les théories mathématiques modernes erronées.

    3). Vous avez mal formulé ma définition de la ligne droite. Ma définition est :
    Définition de la ligne droite:
    «La ligne droite est une ligne dont deux parties quelconques s’appliquent l’une sur l’autre par l’application de deux points quelconques de l’une des deux parties sur l’autre, et ceci quelle que soit la façon de les appliquer.»
    J’ai employé l expression « et ceci quelle que soit la façon de les appliquer » pour éviter la confusion avec le cercle, car le cercle peut remplir les conditions de ma définition pour une seule position parmi toutes les autres positions, à savoir quand les deux arcs sont dans le même plan, et leur convexité dans le même sens. La bonne définition ne doit jamais prêtée à la confusion.
    Vous voyez donc que ma définition est très claire. Il faut comprendre la géométrie. C’est cette définition qui m’a permis de démontrer le cinquième postulat d’Euclide.
    Quant à votre dernière question : « Autre chose, vous dites que les maths sont constitués que de la Géométrie et de l’Arithmétique. Sont partis où l’Analyse et l’Algèbre??? »
    Permettez- moi de vous dire que la mathématique pure est formée de deux disciplines :
    1). La géométrie étudie la quantité continue.
    2). L’arithmétique étudie la quantité discontinue (ou discrète). La géométrie donne les principes à l’arithmétique, et cette dernière donne les principes à l’algèbre.
    Quant à l’analyse, elle ne fait pas partie de la mathématique pure, mais c’est une application de la mathématique et elle nécessite beaucoup de réformes pour devenir une science acceptable. Il faut la débarrasser de l’Infini. Dieu seul est Infini. L’espace de sa science : la géométrie est infini. Tout le reste est fini.

    Pour des informations personnelles vous pouvez m’écrire à rachidmatta@hotmail.com
    Rachid Matta MATTA
    3/14/2010

    Commentaire | 13 mars 2010
  • Le mathématicien Rachid MATTA est un grand géomètre, et tout le monde doit se mettre à son école.

    Commentaire | 19 mars 2010
  • Jean-Pierre York

    Il faut ajouter à mo commentaire précédent ce qui suit:

    Pourquoi la revue Nganga Na Nganga ne fait pas un interview avec M. Rachid MATTA?

    Commentaire | 19 mars 2010
Publicités