Introduction. Les surfaces de Riemann sont un compromis entre la continuité et la multiformité. Chez les Mathématiciens anglosaxons, l’uniformité ou l’univocité définit à la fois une fonction et son injectivité. Chez les Mathématiciens francophones, une fonction, mieux une application est injective, surjective et bijective. Dans les ouvrages mathématiques anglosaxons les termes d’injection de surjection et de bijection sont inexistants. Le terme utilisé est "one-to-one". Chez les Mathématiciens slaves ou russes, une telle définition de la fonction est redondante. Dans leurs manuels, ils omettent la définition d’une surjection. Si intuitivement, la surjection rappelle une frontière topologique, l’injection, son intérieur, pour combler la lacune, il est apparu impératif de définir un objet mathématique correspondant à un extérieur topologique (ku en kikongo). Du coup, la définition d’une fonction basée sur l’univocité relationnelle des variables a accusé des lacunes. Pour les surmonter, il a fallu violer la règle de l’uniformité et ouvrir la voie aux fonctions dites multiformes, considérées comme des collections de fonctions uniformes. Chaque élément de cette collection devient une branche de la fonction multivoque. Ce travail forcé, balbutiement de la théorie des ensembles, a abouti aux Surfaces de Riemann.

1. Fonction.Une fonction uniforme f est par définition injective. A deux variables de départ distinctes x et y correspondent deux variables d’arrivée distinctes f(x) et f(y). Les Mathématiciens anglosaxons omettent la définition du prédicament de l’injection accolé à la fonction par les Mathématiciens francophones. L’uniformité ou l’univocité définit à la fois une fonction et son injectivité chez les Anglosaxons. Ces derniers utilisent l’expression "One-to-one", traduite en français, univoque.   A function f is one-to-one if :
a) f(x) = f(y) a x = y ;
or
b) xy a f(x)≠f(y).

Or une telle formulation de l’univocité revient à la définition d’une fonction injective chez les Mathématiciens francophones. 

2. Application. Historiquement, dans un souci d’exactitude la notion de fonction, vague, fut remplacée par la notion d’application :
"Une fonction de la variable x n’est pas nécessairement définie pour toutes les valeurs de la variable x" (Jacqueline Lelong-Ferrand, Les notions de mathématiques de base dans l’enseignement du second degré, Paris, Librairie Armand Colin, 1964, p. 33).

L’introduction d’un domaine de définition par delà l’ensemble de départ et d’une image par delà l’ensemble d’arrivée a clarifié les mouvements des variables d’une fonction. Une application, comme l’envoi d’une lettre par la poste, implique un lieu d’expédition et un lieu de destination. On passe de la fonction à l’application en plongeant les fonctions dans les deux ensembles précédemment cités. Soit la notation usuelle de la fonction :

f : x |→ y.

Domaine de définition de f ou domf := { x/$y et (x,y) ∈ f }.
Domaine des valeurs ou Image de f ou imf := { y/$x et (x,y) ∈ f }.
L’axiome de remplacement de la théorie axiomatique des ensembles selon Zermelo-Fraenkel accorde la qualité d’un ensemble à l’image d’un ensemble X par une application f :

f(X) := {f(x) /x X}.

Pour représenter une application f de A dans B, on écrit  ⊂ A x B (lire : "f est inclus dans A croix B");
En fait, c’est une fonction f à valeurs dans B, et dont le domaine de définition est A. A := Domf et Imf  ⊂ B. Into est la traduction anglosaxonne de la préposition dans (mu en kikongo).
Une application f de A sur B est une fonction f à valeurs sur B, et dont A := Domf et Imf := B. Onto est la traduction anglosaxonne de la préposition sur (ga en kikongo).   

3. Surjection. Quel que soit un élément d’arrivée y d’un ensemble B, il existe au moins un élément de départ x appartenant à un ensemble de départ A. On définit de la sorte une application ou une fonction surjective. Mais une telle définition est redondante pour les Mathématiciens slaves ou russes. Dans leurs manuels, ils omettent la définition d’une surjection. En rappelant toutefois l’unicité de y ou de f(x), cela revient à une simple définition d’une fonction :

"On appelle fonction […] la relation binaire f si pour tous x, y et z il s’ensuit de (x,y) ∈ f et (x, z) ∈ f que y = z" (L. Koulikov, Algèbre et Théorie des nombres, Moscou, Editions Mir, 1982, p. 51).

Autrement relaté à chaque variable de départ correspond une unique variable d’arrivée. La définition d’une fonction sous-entend celle de son unicité. 

4. Fonctions multiformes. La surjection à elle seule peut cacher des fonctions multiformes dans lesquelles une variable de départ correspond à plusieurs images d’arrivée.  Notamment, les fonctions racines nièmes, les fonctions logarithmiques associent à tout nombre complexe plusieurs racines ou plusieurs images. Elles y sont multiformes. Elles ne sont pas continues dans tout l’ensemble des nombres complexes. Comment travailler à la fois sur leur continuité et sur leur uniformité ? Pour des "raisons d’état", il faut sacrifier la continuité pour travailler sur l’uniformité. L’on ne peut pas parler d’unicité d’une collection d’arrivée, mais de plusieurs collections d’arrivée puisque l’idée de continuité d’une fonction est remise en question dans ce cas de multiformité. Pour soigner cet handicap, on va considérer une fonction multiforme comme un ensemble (au sens cantorien) de fonctions uniformes. Il y a autant de fonctions uniformes que de variables d’arrivée. Chaque surjection étant alors considérée comme une branche de la fonction multiforme. La première fonction uniforme sera appelée détermination principale. Si en partant d’un point d’origine placé sur la détermination principale, on effectue plusieurs tours trigonométriques, en passant en revue à chaque tour les valeurs de chaque branche de la fonction multiforme et que l’on retombe sur les valeurs initiales de la première fonction principale, ce point d’origine est appelé point de branchement. Géométriquement il sert de ralliement aux différentes fonctions uniformes, considérées comme des feuillets discontinus. Mais on n’est pas à bout de la continuité. Il faut d’abord interdire la traversée d’une branche à une autre, le changement de branchement pour tout dire, en introduisant une coupure sur la première détermination principale. Supposons deux points distincts a et b, l’un situé au bord de la ligne d’ouverture et l’autre placé plus à l’intérieur de cette ligne éloigné du premier. Après une entaille, a se divise en a’ et a" et b en b’ et b". Nous obtenons quatre points distincts disposés de telle sorte que a’ soit séparé de a" et b’ séparé de b". Grâce à la coupure, on gagne ainsi en uniformité d’une seule branche de la fonction multiforme. Nous réalisons une entaille sur la deuxième branche qui donne sur un bord deux points alignés c’ et d’ séparés respectivement de deux autres points alignés c" de d". Cette coupure sera réalisée à chaque branche respective rendant ainsi les feuillets séparés. L’Allemand Bernhard Riemann (1826-1866), étudiant de Carl Gauss (1777-1855) à Göttingen, va imaginer le raccordement d’un bord a’ de l’ouverture du premier feuillet au bord c" opposé de l’ouverture du feuillet adjacent, ainsi que le raccordement du bord b’ au bord d". Disons les bords a" et b" sont raccordés aux bords c’ et d’. On peut ainsi traverser tous les feuillets de façon continue, de a’ à c" puis de d" à b’; de b’ à o, le centre ; puis du centre à b" vers d’ ; puis de d’ à c’, passant de branche en branche de la fonction sans tourner en rond sur un seul feuillet. Les bandes rectangulaires a" b" o d’ c’ et a’ b’ o d" c" forment un entrecroisement. C’est l’ensemble de ces feuillets qui constitue une surface de Riemann.

Exercice. Nous demandons la représentation de la figure géométrique (la surface de Riemann) ainsi décrite.

Texte paru également dans La Lettre de L’IRIAN le 03 juillet 2007.

© Les éditions Bukonzo, Paris 2008.

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