“Si l’on veut qu’une maison soit solide, avant de la construire, il faut s’assurer que ses fondations sont suffisantes. Mais l’exemple de la tour de Pise est là pour prouver que, dans certains cas, les fondations elles – mêmes ne peuvent pas suffire à assurer l’équilibre de l’édifice. Pour bien faire, il faudrait construire des “pré fondations” destinées à soutenir les fondations, étudier en détail les techniques de construction pour les perfectionner au maximum “(Michel Combes).

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La logique mathématique est un système formel dans lequel on représente certaines connaissances humaines, telles que les propositions analytiques pures (1) et synthétiques (2), réinterprétées dans un langage issu d’une part :
i) De la pensée néopositiviste du Cercle de Vienne (3) (4) ;
ii) De l’école analytique polonaise (Lukasiewicz, Tarski, Lesniewski…) ;
d’autre part :
i) Des problèmes ontologiques et gnoséologiques des liens entre la géométrie et l’arithmétisation de l’analyse que Georg Cantor à la suite de Richard Dedekind et de Bernhard Bolzano ont revêtu la forme de théorie des ensembles (5), théorie à vocation fondationnelle de toutes les mathématiques.

Vers la deuxième moitié du XlXè siècle, l’Allemand Georg Cantor (1845-1918), d’origine russe, né à Saint-Pétersbourg, alors qu’il étudiait les séries trigonométriques, réforme la pédagogie des mathématiques en découvrant la théorie des ensembles. 180px_DedekindCette théorie, issue également des essais respectifs de son compatriote Dedekind Richard (1831-1916) sur la théorie des nombres et du précurseur Tchèque, le moine Bernhard Bolzano (1781-1848) sur les paradoxes de l’infini, se veut dès l’origine, le point d’irradiation de l’arithmétique, l’analyse et la géométrie. Sur le plan global de l’histoire des mathématiques, nous décelons la résurgence du projet, naguère entrepris par René Descartes de faire la synthèse de diverses théories mathématiques autour de la géométrie analytique : une première illustration de la théorie des modèles que Leibniz fera passer pour de la numérologie cartésienne.
ii) De la crise de la pédagogie des mathématiques qui opposa les intuitionistes (Brouwer, Weyl, Heyting, Griss…), et les formalistes Hilbert, Bernays, Ackermann, von Neumann..,) dans la première moitié du XXème siècle.

Des paradoxes surgissent à travers la théorie des ensembles et, vont bouleverser la conscience des mathématiciens : époque dite de la crise de la raison et de la logique (Beth), si l’on postule à la manière d’André Lichnerowicz que la mathématique est la chair et le sang de toute théorie scientifique. Trois tendances épistémologiques vont apparaître pour décanter la situation provoquée par Cantor :
– La position formaliste dirigée par la sommité mathématique allemande David HilbertHilbert_2 (1886-1943 ) qui essaya de sauvegarder, en améliorant “le Paradis que Cantor a créé pour nous” (Sic ).
– L’opinion logistique d’inspiration anglaise représentée par le prix Nobel de littérature Bertrand Russell (1872-1970), qui tenta d’appréhender certains paradoxes par la création de la théorie des types.
– La troisième attitude, la plus originale mais moins connue des mathématiciens “professionnels”, fut l’œuvre du Néerlandais L-E-J-Brouwer (1881-1966). Elle donna naissance à l’intuitionisme, symbole vivant de l’école mathématique (wiskunde) hollandaise.
Deux remarques méritent d’être faites : d’une part, les mathématiques précantoriennes s’enracinaient sur des vérités incontrôlables, dissimulées cependant par la praxis mathématique. D’autre part, avec la découverte par Ernst Zermelo (1871-1953) de l’axiome qui porte son nom ou axiome du choix, ravivant les querelles proto-cantoriennes, cette crise poussera les mathématiciens à porter plus d’intérêt aux fondations de leur science : “La logique mathématique constitue un exemple d’une branche des mathématiques devant ainsi sa naissance sur les fondements“(Heyting, 1955, p.3).

Cependant les rapports de subalternation n’ont cessé entre logique et mathématique. Selon l’idée de Frege et Russell. la logique sen de fondements aux mathématiques. Cette idée fut contestée à la fois par les intuitionistes et les formalistes dans sa forme et non dans le fond. Comme l’ordre logique se trouve au confluent du réel et de toutes les sciences, il est immanent à l’ordre même du monde, en jouant à la fois un rôle descriptif et un rôle normatif. Dans son premier rôle, la logique sert de méthodologie, d’épistémologie et clarifie le raisonnement humain dans notre connaissance de l’homme et de la nature. Dans son rôle normatif, la logique par les découvertes scientifiques corrige la conduire de l’homme dans la société ; puis la technologie exauce son efficacité. Sous l’épithète de mathématique, la logique ne gagne rien en estime, encore moins en valeurs intrinsèques ; c’est un pléonasme savouré par les logiciens pour expliquer et persuader que l’art des démonstrations analytiques se confond en réalité avec la logique. Si les mathématiques sont une façon de penser le monde, la logique est le squelette sur lequel prennent appui les mathématiques. Son langage est très explicite et se veut transparent. Mais au-delà du langage, la logique s’interroge sur la signification culturelle des objets mathématiques. La logique entend ainsi valider l’hypothèse Sapir Whorf selon laquelle, “Il y a une différence ou une incommensurabilité des visions du monde ou des catégories de pensées en tant qu’elles sont conditionnées par une diversité significative des langues maternelles particulières” (Tshiamalenga Ntumba, 1983).
«En transposant cette thèse sur le plan de la connaissance, nous aboutissons à une conception de la connaissance comme une mise en lumière, une perception de l’imakh, d’une chose ou d’un phénomène. Connaître l’imakh de quelque chose, c’est connaître son «sens». sa «signification». sa «nature véritable», sa «quintessence», sa «raison d’être», etc. Et connaître ce qu’une chose «en en vérité», c’est savoir ou dévoiler la «pensée», le «plan», le «dessein» qui est à son «origine» (Mubabingue Bilolo, 1986. p.05). C’est de l’imakh, le sens égyptien du concept de logique, dont parle Lazare Carnot dans ses réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal : “Je cherche à saisir, en quoi consiste le véritable esprit de l’analyse infinitésimale».
C’est ainsi que la logique est perçue comme une science subversive, voire anarchique ; et son développement est de tous temps, étouffé par les mathématiciens. Pour les intuitionistes comme pour les formalistes «les mathématiques sont primordiales et la logique secondaire : la logique n’est rien d’autre qu’une collection de règles découvertes à posteriori, qui caractérisent les schémas d’inférence implicites en mathématique lorsque ces derniers sont correctement pratiquées» (R. Turner, 1986. p.”36).
Dans un autre aspect initié par l’Anglais Georges Boole (1815-1864), l’Américain Charles Peirce (1839-1914) et l’Allemand Schroeder (1841- 1902), la logique est une discipline à part entière des mathématiques. Mais on parle toujours de subalternation dans la mesure ou la mathématique emprunte ses principes à la logique. La logique est développée par des méthodes algébriques ; ce qui facilite l’économie de la pensée, évite la redondance dans le sens leibnizien que voici :
«Ce qu’il faut, quand on raisonne, c’est avoir sous les yeux quelque chose qui concrétise la pensée, qui la stabilise, qui la peigne. L’algèbre est à cet égard un instrument de premier ordre» (A. Cresson. 1958, p. 16).

Notes bibliographiques.

(1) Proposition analytique : Voici un exemple puisé dans Louis Vax 1970, P. 30-31. ‘-Tout matou est un chat” ; le prédicat chat renforce la compréhension du sujet matou. L’idée du chat est implicite dans celle du matou, on dit Que cette proposition est analytique. Une proposition analytique est une proposition qui est vraie à priori, par sa forme “ou dont la vérité ou la fausseté est déterminée par la signification des termes qui la composent” Bourdin. 1980, p, 19 (Bourdin cite Carnap).
(2) Proposition synthétique. C’est une proposition” dont la véracité ou la fausseté dépend des constatations empiriques élémentaires (Bourdin, 1980, p.19). Exemple : 2 + 2 = 4. 4 n’entre pas dans la compréhension de 2 et 2 ; mais 2 et 2 combinés (on dit additionnés) apparaissent comme 4.
(3) Débat entre Kant et les Néopositivistes autour des jugements synthétiques a priori. Dans son chapitre “système opératoire négro-africain”, Théophile Obenga (L’Afrique dans l’antiquité, Paris, Présence africaine, 1973) tente de pénétrer ce débat. A la page 338, il récuse l’idée selon laquelle les propositions représentées en langue embosi (une langue du Congo-Brazzaville), telles que :

naa la naa iphi mwambi (4 et 4 font 8) (biya vukidi biya bigeni nana, en kikongo)

baa la opoo iphi tsare (2 et 1 font 3) (biole yikidi kimosi bakidi bitatu, en kikongo)

sont des propositions analytiques : “Morphologiquement, argumente-t-il, 9 (iva) n’est pas décomposable en 5 (tane) et 4 (naa)”. Il explique par là, la proposition “tane la naa iphi iva” (tanu yikidi biya bigeni bivua, en kikongo) (5 et 4 font 9) et celles déjà citées sont des propositions synthétiques. Si l’on applique la thèse soutenue par Kant dans sa Critique de la Raison Pure (Chapitres de l’Esthétique et de l’Analytique transcendantales), la proposition “2 + 2 = 4″ est une proposition synthétique à priori. L’expérience sensible d’où est née l’intuition de grouper 2 et 2 pour causer 4, est conditionnée par des structures a priori, cadres innés, indépendants de cette même expérience, que Kant appelle “catégories transcendantales” ; ce sont d’une part, le temps et l’espace, formes à priori de la connaissance sensible ; d’autre part la substance et la cause, catégories de l’entendement. Les néopositivistes du Cercle de Vienne rejettent cette thèse kantienne selon laquelle il existe des propositions synthétiques à priori. Selon eux, toute proposition «synthétique est empirique à posteriori» ; seules les propositions analytiques sont vraies à priori. Cependant si l’on adapte la théorie génétique de Kant, reprise par Péano, qui fonde l’arithmétique sur l’à priori du temps, nous avons un processus récursif qu est le successeur (nlandi en kikongo) qui atteste que 4 est la duplication de deux. Pour Kant, deux et deux font quatre est bien une proposition synthétique, car en plus de la coexistence de deux et deux, il y a leur combinaison, leur synthèse. Mais comme il y a un ligament interne, à priori (ici le temps) qui rattache Quatre de deux et deux, la proposition est synthétique à priori.
Si de Kant à Hegel et Hegel à Marx, il y a eu évolution de la pensée philosophique par double rupture épistémologique, l’épistémologie de la logique et des fondements des mathématiques reste entachée de la pensée d’Emmanuel Kant. Les intuitionistes fondent également l’arithmétique sur l’intuition du temps, bien qu’à l’encontre de Peano ils n’acceptent pas l’axiomatisation touts azimuts.
(4) Le néopositivisme du cercle de Vienne et ses conséquences immédiates sur la logique. Le néo-positivisme, comme son nom l’indique, semble à première vue être l’actualisation de la pensée positiviste issue d’Auguste Comte. En fait ce positivisme logique est issu de la logistique de Russell et du Tractatus logico philosophicus de Ludwig Wittgenstein (1889-1951). Ce dernier soutenait la thèse selon laquelle, i1 y a un lien entre les problèmes de la vie (Lebensprobleme) et les problèmes techniques de la logique, entre une compréhension correcte de l’essence de la proposition et la découverte de l’attitude correcte à l’égard du monde et de la vie» (sic).
Fidèle à cette thèse, le cercle de Vienne s’était assigné le but immédiat de purifier la science en éliminant les pensées métaphysiques institutionnalisées dans les universités allemandes, servant les intérêts des classes dominantes. Le cercle privé de Vienne où se cristallise cette pensée fut dirigé vers 1930 par Moritz Schlick (1882-1936) et domicilié dans la chaire de philosophie des sciences inductives de l’Allemand Ernst Mach. Parmi les autres fondateurs de ce cercle, il faut citer le philosophe et logicien américain d’origine allemande Rudolph Carnap (1891-1970), le mathématicien Hans Hahn (1879-1951), auteur des travaux sur les espaces vectoriels et le sociologue Otto Neurath, Directeur du Musée social et économique à Vienne. Ils étaient tous les quatre persuadés de la nécessité d’un réexamen des fondements de l’arithmétique (à partir de la crise protocantorienne jusqu’au programme de Hilbert) de la géométrie, de la physique et ces sciences sociales, en élaborant une conception scientifique du monde – Une telle conception devait unifier les sciences de l’esprit et celles de la nature (international encyclopédia of unified science).
Parmi l’héritage reçu des néopositivistes, la coupure des systèmes formels ( dont la logique classique) en une syntaxe et une sémantique. La sémantique donne une ou plusieurs interprétations de la syntaxe. La syntaxe est confondue au langage ; et la sémantique au modèle. On dit que le langage est formel, pour signifier qu’on n’a pas recours à la réalité sensible.
(5) Pour une étude technique de la découverte cantorienne des ensembles en langue française, se rapporter aux travaux proprement dits de Cantor traduits de l’Allemand et publiés sous la direction de G. Mittag-Leftler dans la revue suédoise ACTA MATHEMATICA, t. 2, 1883. La traduction fut revue et corrigée par Georg Cantor lui-même. L’ouvrage dans lequel on peut trouver l’aspect historique de cette découverte est celui de Jean Cavaillès 1937.
C’est à bon gré que nous utilisons le mot réforme. Au lieu de dire mathématiques modernes, nous disons enseignement moderne ou actualisé des mathématiques ; pédagogie actualisée des mathématiques. La recherche en mathématique doit être également une recherche d’une nouvelle pédagogie de l’enseignement des mathématiques qui s’adapte à l’évolution des structures mentales des individus.

– Bourdin Jean-Yves, “Le néopositivisme et les mathématiques”, matérialisme, n°1, Paris, 1980.
-Cavaillès Jean, Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles, Paris, Hermann, 1937.
– Cresson A., Leibniz,  Sa vie, son œuvre, Paris, Puf, 1958.
– Mubabinge Bilolo, Les cosmo-théologies philosophiques de l’Égypte antique, problématique – prémisses herméneutiques –et – problèmes majeurs, Publications universitaires africaines, Kinshasa –Libreville –Munich, 1986, p.205.
– Tsiamalenga Ntumba, “Le problème de la relativité linguistique”, Revue philosophique de Kinshasa, vol 1, n°1, juin 1983.
– Vax louis, L’empirique logique. Paris, Puf, 1970.

Cet article fut publié pour la première fois dans la revue Paari, juillet-aout 1990, éditée à Blanc-Mesnil (France).

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