Brouwer L’intuitionisme est une école de mathématiques créée par le Néerlandais Luitzen Egbertus Jan BROUWER (1881-1966) au début du XXe siècle pour consolider les fondations des mathématiques à l’instar des digues de Hollande dues à Simon STEVIN. Trois idées s’y entremêlent (1) :

  1. Les mathématiques représentent la partie exacte de la pensée humaine” ;
  2. L’activité mathématique de l’homme est une activité spirituelle” ;
  3. Les mathématiques sont une création libre, indépendante de l’expérience.

Comme la pensée humaine est consubstantielle au temps (ntangu, en kikongo) et à l’espace (mbuka, en kikongo) d’après la thèse de l’esthétique transcendantale soutenue par Kant dans Critique de la raison pure, les mathématiques “se développent à partir d’une intuition archétype, qu’on peut appeler constante dans la variation et une dans la multiplicité”. D’où Intuitionisme avec un seul ‘n‘ d’après Jean Largeault. Pascal, à propos de l’intuition, remarque ceci : « Il faut tout d’un coup voir la chose d’un seul regard et non par progrès par raisonnement ». L’intuition est une connaissance directe, sans intermédiaire, une vision (Lumoni, en Kikongo, du verbe Mona, Wa, Tala, voir, sentir, percevoir). En égyptien ancien, le hiéroglyphe représentant le verbe « voir » est l’idéogramme de l’œil humain vocalisé « m33 ». Les Kongo révèlent : « Muntu wu mona ka mona. » (Cet homme voit).

Comment de l’intuition, de la perception, de la connaissance sensible fabrique t-on des objets mathématiques, des symboles, des formules mathématiques, des théorèmes, des propositions, des lemmes, des définitions, des axiomes, des démonstrations, des théories ? Si l’apprenant est guidé par un maître expérimenté, il récite les leçons du maître ; Au besoin, il incrémente une plus-value culturelle. C’est recommandé d’agir ainsi dans la nécessité d’une formation des ingénieurs et des enseignants en Mathématiques. Mais l’apprenant ne dépasse pas, comme tout ouvrier intègre, le cadre spatio-temporel imputé au maître. Nominalisme scientifique.
Je puis hypostasier, pour paraphraser Evariste Galois, exprimant, “Il y’ a au moins autant de Français que d’Algèbres”, nous généralisons, « Il y’ a au moins autant d’êtres humains sur terre que de théories mathématiques. »

Autrement formulées, “[…] les mathématiques d’une époque développent une certaine architecture qui reflète l’idée que cette époque a de la perception du réel” (René Guitart ). Or cette perception diffère d’un individu à un autre; donc les idéalités mathématiques, elles-mêmes, sont variées selon l’interprétation de Henri Lebesgue: “A aucune époque les mathématiciens n’ont été entièrement d’accord sur l’ensemble de leur science que l’on dit être celle des vérités évidentes, absolues, indiscutables, définitives”(sic).
L’accession à la majorité est conditionnée par la traversée de l’Analytique transcendantale, la deuxième étape préconisée par Emmanuel Kant dans sa Critique de la Raison pure. L’Analytique se définit comme la théorie de l’entendement dont l’opération est le concept. La compréhension et l’extension sont les attributs du concept. « Qui se ressemble s’assemble » est la narration de l’axiome de compréhension. « Muntu wa Fuana muntu » (L’homme est l’égal de l’homme) est l’expression du principe d’identité. Toutes choses liées par le principe d’identité forment un ensemble. Ainsi définit-on l’extension, l’énumération des choses. Un concept n’a point besoin de représentation. Autrement relaté la substance et la cause restent les seules catégories par lesquelles l’entendement organise la matière.
Dans sa thèse de doctorat (2) sur les fondements des mathématiques soutenue à Amsterdam en 1907, Brouwer enracina les mathématiques dans l’a priori du temps : “The human ability to link events in his mind, to see sequences and repetition of sequences in time” (La capacité de l’homme de relier les évènements dans son esprit, de voir les séquences et la répétition des séquences dans le temps).

Dans sa méthode des fluxions, Sir Isaac Newton décrivit le temps comme un flux continuel. Sir W. R. Hamilton le découvreur des nombres hypercomplexes, plus connus sous le nom de quaternions, rédigea un ouvrage mathématique dans lequel l’algèbre fut considérée comme “The Science of pure time”. Examinons les six chapitres de sa thèse rejetés par le jury dirigé par Korteweg:

  1. The Construction of Mathematics,
  2. The Genesis of Mathematics Related to Experience,
  3. The philosophical Signifiance of Mathematical,
  4. The Foundation of Mathematics on Axioms,
  5. The Value of Mathematics for Society,
  6. The value of Mathematics for the Individual

On ne peut s’empêcher de reconnaître dans l’intuitionisme Brouwérien la trace d’une épistémologie post-kantienne sinon hégélienne des mathématiques. Sa définition de la praxis mathématique comme activité de l’esprit pur rejoint l’idée principale d’Arthur Schopenhauer selon laquelle le monde de la représentation est le monde de la volonté. Le théoricien des nombres Léopold Kronecker dans sa boutade “Le bon Dieu a fait les nombres entiers. Tout le reste est œuvre humaine” (Ngwa Nzambi wa sema tutangu tua mvimba, Tutangu tua n’kaka tua mabanza ma bantu, en kikongo), Henri Poincaré en découvrant le raisonnement par induction (ou par récurrence) furent aussi des précurseurs de l’intuitionisme.

Par conséquent, l’idée d’une subordination des mathématiques à la philosophie ou à toute autre théorie de la connaissance fut étrangère à Brouwer. Cependant on décela dans ses prises de position ou ses points de vue mathématiques une certaine philosophie d’influence kantienne agrémentée de Schopenhaeur ainsi que de sa collaboration avec l’épistémologue Gerrit MANNOURY. Pour ce dernier, il faut considérer les mathématiques comme un phénomène de vie. C’est le point de vue de la Sociologie de la Connaissance.
Les mathématiques se démarquent de la philosophie non pas sur un plan épistémologique, mais à cause d’un différend respectivement sémiologique et méthodologique. Le mathématicien décrète une nouvelle dogmatique, un langage propre, où il fixe ses concepts sur des symboles (bikandu, en kikongo) : « Ce qu’il faut, quand on raisonne, c’est avoir sous les yeux quelque chose qui concrétise la pensée, qui la stabilise, qui la peigne » (Leibniz). C’est le terme.
Dans la culture néerlandaise (3), la mathématique demeure la science (kunde) sûre et certaine (wis en zeker): d’où wiskunde la nomination que Simon STEVIN accordât aux mathématiques.

La langue maternelle confinée à un métalangage paraît presque insignifiante. Puis le mathématicien se soumet à une déontologie rappelée au vingtième siècle par Nicolas Bourbaki : « Qui dit Mathématiques dit démonstration » (Bu ta ngana, bangula ngana, en kikongo).

Brouwer radicalisa sa conception des mathématiques en rupture avec la pensée formaliste prônée par David Hilbert (4) et ses disciples. Furent bannis de la théorie intuitioniste des ensembles (species), le principe du tiers exclu (ou axiome de la résolubilité de tous les problèmes), un des trois piliers de la logique classique, car dépourvu de raison suffisante, l’axiome de compréhension et l’axiome du choix. Hilbert dut déchanter lorsqu’un de ses meilleurs élèves, Hermann Weyl (1885-1955), bascula dans le camp de Brouwer. Les critiques de Brouwer furent anticipées par les semi-intuitionistes de l’école mathématique de France prébourbachique dont les travaux portèrent sur la théorie des fonctions. Dans cette école figurent d’illustres mathématiciens français dont Emile Borel (Saint-Affrique, 1871 – Paris, 1956), René Baire (Paris, 1874 – Chambéry, 1932), Henri Lebesgue (Beauvais, 1875 – Paris, 1941).

René Baire rejeta l’axiome de l’ensemble des sous-ensembles jugé imprédicatif.
Une revue de mathématiques allemande, Mathematische Annalen, fut fondée en 1868 par Alfred Clebsch et Carl Neumann. Elle fut rachetée par le libraire éditeur Julius Springer en 1920. Après l’avoir dirigée, dès la mort de Clebsch, Félix Klein (1849-1925 ) donna le la à David Hilbert (1862-1941). Sur la page de couverture de la revue de l’année 1928, figurent les noms suivants :

Ceux des deux présidents fondateurs ; le successeur F. Klein ; ceux des huit collaborateurs au statut indéfini dont L.E.J. Brouwer crack de la topologie algébrique naissante ; quatre rédacteurs en chef, David Hilbert (Göttingen), le physicien Albert Einstein (Berlin), Otto Blumenthal (Aix La Chapelle) puis Constantin Carathéodory (Munich). Les affaires courantes de la revue furent confiées à O. Blumenthal, faisant fonction de Directeur de rédaction. Cependant le big boss fut D. Hilbert. Quand le conflit entre ce dernier et Brouwer éclata, A. Einstein ainsi que l’éditeur commercial J. Springer restèrent neutres. Le 27 octobre 1928 (5), Brouwer fut évincé de la prestigieuse revue par David Hilbert. L’incompatibilité fut totale entre les deux protagonistes du leadership des mathématiques mondiales. L’année suivante, en 1929, tous les noms des rédacteurs associés furent rayés de la page de couverture de la revue ainsi que ceux des éditeurs scientifiques comme C. Carathéodory et A. Einstein. À partir de 1930, L.E.J. Brouwer fonda sa propre revue internationale de mathématiques, Compositio Mathematica, éditée aux Pays Bas. En mathématiques officielles, dans le domaine de la topologie algébrique, L.E.J.Brouwer contribua au théorème du point fixe, à l’invariance du nombre de dimensions et à bien d’autres résultats devenus classiques comme la preuve du théorème de la courbe de Jordan.

Heyting Cet exposé fut prononcé pour la première fois le 08 octobre 1987 devant les Chercheurs du groupe “philosophie et mathématique” créé par la Société africaine de Culture des éditions Présence Africaine. Il porta sur les fondements et logiques des mathématiques intuitionistes développés par Arend Heyting (1898-1980) (6), disciple incontesté de Brouwer. Les mathématiques intuitionistes de Brouwer Heyting en portant notre intérêt particulièrement à la Logique intuitioniste sans négation du trio G.F.C. Griss-Paulette Février-Nicoles Dequoy réintroduisirent la dynamique de la temporalité sans le temps, et interpellèrent l’espace, la mémoire du temps.

2. L’intuitionisme en Afrique.

Les mathématiques intuitionistes furent introduites en Afrique en 1952 par Brouwer lui-même dans un article intitulé “ Historical Background, Principles and Methods of Intuitionism ”, publié par la revue sud-africaine, South African Journal of Science, du numéro 49. L’Ougandais Jekeri OKEE fut le premier mathématicien africain au Sud du Sahara à soutenir une thèse de doctorat en 1970, à l’Université Humboldt de Berlin (Allemagne), portant sur Le Calcul des prédicats intuitionistes du premier ordre. Suite au rejet par Brouwer de la logique sous-jacente au principe du tiers exclu, des Algèbres intuitionistes furent découvertes différentes des Algèbres de Boole : Les Algèbres de Brouwer Heyting tributaires de la Topologie ensembliste et les Algèbres des espèces dont la complétude fut l’une des préoccupations de Jekeri OKEE. L’article suivant, “ On the completeness of the Algebra of species ” (Notices of the American Mathematical Society, vol. 20, 1973) témoigne de cette contribution. Enseignant à l’Université Makerere de Kampala, capitale de l’Ouganda, Jekeri OKEE participa au premier congrès panafricain des mathématiques organisé à Rabat (Maroc) le 26-31 juillet 1976. Ce congrès portant sur le thème, “ Mathématiques et développement de l’Afrique ” aboutit à la création d’une société savante, “ L’Union Mathématique Africaine ” (UMA) dont le premier Président fut le Camerounais Henri Hogbe Nlend, découvreur de la Théorie des Bornologies, une sorte d’extension de l’Analyse fonctionnelle ; Puis d’une revue scientifique Afrika Matematika domiciliée à l’origine dans les années 1980 au Département de Mathématiques de l’Université Marien Ngouabi de Brazzaville (CONGO), quartier général du célèbre congolo-guinéen Sékou Traoré.

A suivre.

3. Notes bibliographiques

  1. Dirk Van Dalen, “La philosophie intuitioniste et ses conséquences mathématiques”, Séminaire de philosophie et mathématiques, Ecole normale supérieure de Paris, Séance du 17 mars 1980
  2. Van Stight Walter P. Van, “The rejected parts of Brouwer’s dissertation on the foundations of mathematics by D. J. Korteweg”, Historia Mathematica, vol. 6, n° 4, 1979, p. 389.
  3. Selon Hans Freudenthal, Simon Stevin, ingénieur et mathématicien (Bruges, 1548 – La Haye, 1620) traduisit tous les concepts scientifiques en flamand au XVIIe siècle. Un mathématicien est désigné wiskundige. La géométrie se traduit meetkunde : de meet, endroit et de kunde, savoir, science, connaissance
  4. Hilbert D. und P.Bernays, Grundlagen der Mathematik, Verlag von Juliuis Springer, Berlin, 1934, p. 64.
  5. Dirk van Dalen, “The War of Frogs and the Mice, or the Crisis of the Mathematische Annalen”, The mathematical intelligencer, vol. 12, n° 4, 1990, Springer-Verlag, New-York. Voir aussi, M’Boka Kiese et Mawawa Mawa Kiese, Hommage à Cheikh Anta Diop, Paris, Paari, 2004.
    La seule personnalité mathématique à laquelle on peut comparer Brouwer c’est Hilbert seul. Entre Brouwer et Hilbert, ça n’est pas seulement l’affrontement de deux méthodologies, mais surtout deux gnoséologies exaltant chez le premier le patrimoine culturel néerlandais et chez le deuxième la weltanschauung allemande. L’intitulé de l’article de monsieur Mark Van Atten « Brouwer et Gödel : Deux frères ennemis», (Pour la science, dossier n° 49, oct-déc. 2005, p. 24-29) est une surenchère. On ne peut pas opposer Brouwer à Gödel. Ils n’ont pas joué aux quatre cents coups ensemble pour user de l’expression du Cinéaste français François Truffaut. L’auteur lui-même le souligne : « Brouwer appartient à la génération de la mère de Gödel » (Op. Cit. , P. 25). Brouwer et Gödel n’appartiennent pas à la même aristocratie (au sens de J. A. Dieudonné) de mathématiciens. D’origine austro-hongroise, Gödel a fini sa carrière en immigrant aux États – Unis d’Amérique. Brouwer a vécu en Hollande. Il a même décliné l’offre d’enseigner en Allemagne. Ils n’ont pas été confrontés aux mêmes crises d’intersubjectivité. Si les théorèmes d’incomplétude de Gödel ont acculé Hilbert et ses disciples à réviser leur programme formaliste, il n’en demeure pas moins que cette maintenance gödélienne fut possible grâce aux critiques radicales lancées par Brouwer vingt cinq ans auparavant. S’il fallait renommer l’article de Mark Van Atten, nous proposerons deux titres : « Les théorèmes d’incomplétude de Gödel par delà le formalisme et l’intuitionisme » ; « Gödel entre Hilbert et Brouwer ».
  6. Heyting Arend, “Die formalen Regeln der intuitionistischen logik”, p. 42-56, Sitzungsberichte der Preusischen Akademie der wissenschaften , Phys. Mathemat. Klasse, Berlin, 1930.
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