« … pour rythmer ton nom grand sur les eaux
sur les fleuves sur toute la mémoire Que j’émeuve la voix des kôras Kouyaté !
L’encre du scribe est sans mémoire ». (L.S.Senghor)

Un commentaire sur les fondements des mathématiques d’après l’introduction de Cheikh Anta Diop (suite de la première partie)

RESUME : Nous examinerons dans ces derniers chapitres l’origine de quelques antinomies et le statut de l’axiome de compréhension.
ABSTRACT : In these last chapters we investigate the origin of some antinomies and the state of the axiom of comprehension.
Auteur : Mboka KIESE

PROLEGOMENES

Ces chapitres font suite à un texte contenant cinq chapitres A, B, C, D, et E(E1) qui paraît aux éditions Présence Africaine [1].
Dans ce premier travail, nous avons commenté les balbutiements de la théorie des ensembles tant au niveau de certains axiomes, qu’au niveau du langage. La crise qui s’en était suivie à l’instar des paradoxes fit, l’échec du programme de Hilbert. Ce dernier voulut démontrer la cohérence des mathématiques sans l’aide de l’infini. Le théorème d’incomplétude de Gödel qui déclencha cette seconde crise fit une découverte savante. Il consolida le statut mathématique de la logique. Selon Cheikh Anta Diop, 1982, (p.190), les résultats de ce théorème furent équivalents à ceux qu’obtint Heisenberg en Physique Quantique à travers les relations d’incertitude.
On reste «écrasé », si en lisant le tableau synoptique de la logique classique présenté en appendice on est bourbachique inconditionnel, de l’évolution considérable de cette science.
Deux grandes idées se mêlent :
- L’idée de Frege et de Russell selon laquelle la logique sert de fondement aux mathématiques. Cette idée fut contestée à la fois par les intuitionistes et les formalistes dans sa forme et non dans le fond. Largeault, 1972 (p. 139), Epistémologicien en Sorbonne, est ému du silence conspiré contre le Norvégien A. Thoralf Skolem (1887-1963) par la communauté mathématique. Skolem apporta une contribution non des moindres à l’axiomatisation de la théorie des ensembles. Il fut le premier à découvrir les modèles non standard en arithmétique, dont Abraham Robinson fit une extension remarquable en calcul infinitésimal. Il eût été légitime en effet, que l’on rajouta aux initiales Z.F. (Zermelo-Fraenkel) le symbole S, mis pour Skolem.  Les mathématiciens ont toujours combattu à cor et à cri, l’idée que d’autres sciences leur servent de fondations. 
- L’autre aspect représenté par l’Anglais Georges Boole (1815-1864) – autodidacte en mathématiques (les algèbres qui portent son nom, sont la base même de l’électronique), l’Américain Charles Peirce (1839-1914) et l’Allemand Schroeder (1841-1902) : la logique fut développée par des méthodes algébriques. Cette méthode facilite l’économie de la pensée, évite la redondance dans le sens leibnizien que voici :
« Ce qu’il faut, quand on raisonne, c’est avoir sous les yeux quelque chose qui concrétise la pensée, qui la stabilise, qui la peigne. L’algèbre est, à cet égard, un instrument de premier ordre » [2].
Dans ces deux aspects, la logique pure essaie de reécrire dans des structures plus stables et plus générales certaines branches isomorphes des mathématiques.

INTRODUCTION

Cheikh Anta Diop n’a pas eu tort de suspecter « la notion naïve et contradictoire, actuelle de l’infini… Elle est impliquée directement ou indirectement dans la quasi-totalité des paradoxes mathématiques » [3]. Un traitement historique et détaillé des antinomies existe dans E.V. Beth, 1955 (p. 175-198).
Mais pour comprendre l’origine des antinomies, il faut d’abord connaître les notions de relation, de classe et d’ensemble au sens de von Neumann-Bernays-Gödel dans la théorie des classes. Si dans cette théorie Mostowski, 1978 (p.23) fait remarquer que la classe, la relation et l’ensemble sont des données primitives, cela ne nous aide pas à saisir la nuance existant entre une classe et un ensemble ; le système de Frege exposé dans Grundlagen der Arithmetik dès 1884 nous paraît le mieux approprié [4].
L’axiome de compréhension exprimé primitivement en 1908 par Zermelo, conduisit à des paradoxes. La modification qu’il en fit donna l’axiome de séparation.
Nous montrons comment, partant de cet axiome Fraenkel et Skolem, indépendamment l’un de l’autre, construisirent le schéma d’axiome de substitution ou de remplacement.

E2 – Relation – Classe – Ensemble en partant du langage de Frege

E2-1 – Tableau comparatif des divers systèmes qui sous­tendent les mathématiques classiques.

Chez Frege, l’énoncé des données primitives est hiérarchisé, comme dans la théorie des types. En premier lieu, il y a des objets, puis des concepts enfin des extensions de concepts.
Au lieu de définir d’emblée chaque primitive, nous procédons d’abord par situer leur position dans le tableau ci-dessous.

(i2) Définition de la classe A (X)

Une classe est un rapport, mieux une relation binaire (au sens intuitif) entre un individu x et une relation monaire A.
C’est une situation pendant laquelle, l’individu x satisfait la relation monaire A. Cette situation est donc vraie : A est un « modèle » de x. Tel est le sens précis de l’expression frégéenne : « x tombe sous le concept A ».

Remarque : L’idée qu’une classe soit une relation fonde la théorie des classes NBG.

« Classes represent at the same time relations between sets, namely a class A represents the relation which subsits x and y if the ordered pair (x,  y) … is an element of A » (Gödel, 1940, page 2, introduction).
D’où l’axiome de la ∈ – relation du groupe B1 : ∃A (x, y) [ (x, y) ∈ A ≡ x ∈ y] (Gödel, 1940, p.5).
L’imbroglio réside au fait qu’on ne sait pas exactement si c’est la classe et l’ensemble qui précèdent la relation ou l’inverse. De plus la définition d’une paire ordonnée < x y > présuppose l’existence d’un ensemble à deux éléments muni d’une relation d’ordre. En fait d’imbroglio, il y a lieu de parler de cercle vicieux.
(i4) L’interprétation que Mostowski, 1978 (p. 23) donne à la définition d’une classe est une transition satis­faisante entre le système de Frege et celui de NBG :
« Ils [5] employèrent des fonctions propositionnelles (c’est-à-dire des fonctions à deux valeurs : « le vrai » et « le faux » ) qu’il est d’usage d’appeler plutôt « classes ».
L’introduction des valeurs de vérité n’a de sens que si on adopte la démarche logique de Frege. Notre tableau qui s’en inspire, montre comment la notion de classe se déduit de celle de prédicat.

(i4) Définition d’un ensemble. Une classe A (x) devient un ensemble, si l’on fait l’inventaire, l’énumération de tous les :
- individus qui satisfont la relation monaire A ;
- objets qui tombent sous le concept A.

( i 4-1) Ensemble vide. La définition que les Rubin, 1963 (p. XVII) donnent à l’individu est très proche de l’axiome de définition de l’ensemble vide (voir Pabion, 1976 (chapitre V – la théorie des défini­tions) ) ;
« If x is an individual then ∀y [¬ (y ∈ x) ](An individual does not contain any elements) ».
On peut remarquer le caractère imprédicatif (voir chapitre E3) d’une telle définition. Zermelo parle d’élément primitif. Selon Beth, 1955 (p. 142) qui interprète Zermelo, « un tel élément primitif ne contient aucun élément sans toutefois s’identifier à l’ensemble vide ».
Dans notre tableau comparatif, la définition d’un ensemble vide qui en découle est la suivante :
Un prédicat unaire est un ensemble vide si aucun objet ne tombe sous sa domination.
En prenant P(x) ≡ x ≠ x (l’élément x satisfait le concept P « non identique à soi-même ») nous avons une autre définitionde l’ensemble vide : Ø = {x/x ≠ x}. Or cette définition est celle que Frege utilise pour définir le nombre 0 :
« 0 est le nombre qui appartient au concept (non identique à soi-même ». (Pieters, 1981, p. 30).

(i+2) Autre définition d’un ensemble

Extension du concept C : extension des objets auxquels s’appliquent ce concept C. k est un objet de l’extension C(x).
On est plus armé de comprendre l’ordre d’énonciation des axiomes de la théorie des classes NBG et l’axiome central suivant ;
Groupe A :
1 – Cl(x) : chaque ensemble est une classe.
Sens méta-frégéen : Chaque ensemble tombe sous le concept « est une classe ». Si l’on examine l’extension (au sens intuitif) du concept « est une classe », on trouve des objets qui ne sont pas des ensembles : ce sont les classes propres. En voici quelques-unes.
- Classe de tous les ensembles :
Univers V de Quine. soit R le concept « identique à soi-même », soit x un objet tombant sous R, R(x),l’extension du concept R n’est autre que V et se définit par : V ={ x/x = x} .

- Classe de tous les ordinaux, ON.
- Classe de tous les cardinaux, Cn.
- Classe d’équivalence.

Exercice n° 1 : Démontrer que la classe d’équiva­lence n’est pas un ensemble.

E3 – Totalité – Imprédicativité – Paradoxes
E3-1 – L’axiome de compréhension et l’antinomie de Russell
L’un des paradoxes le plus connu, le paradoxe de Russell, illustre bien l’existence des classes qui ne sont pas des ensembles. Prenons le « principe de compréhension » :
(I) ∃E∀A (A ∈ E ⇔ F(A)), A est libre dans F.
Il existe un ensemble E, dont les éléments sont exactement tous les éléments A de E pour lesquels F(A) est vraie. Pour contredire ce principe, prenons F(A) ≡ ¬ (A ∈ A), la propriété définissant cet ensemble E ; l’énoncé (I) devient :
(II) ∃E ∀ A (A ∈ E ⇔ ¬ (A ∈ A) ).
En remplaçant dans (II) E (qui existe de droit) par un ensemble qui existe de fait ; soit X, nous obtenons :
(III) ∀ A (A ∈ X ⇔ ¬ (A ∈ A) ).
C’est ici qu’intervient l’astuce de la contradiction. Le fait de poser le quantificateur universel ∀ devant A, on délimite son champ d’action et, un autre ensemble comme X peut aussi tomber sous son contrôle. Il nous est par conséquent indifférent de substituer X pour A dans (III).
Ce qui donne :
(IV) X ∈ X ⇔ ¬ (X ∈ X).
D’où le paradoxe de Russell, en vertu du principe de la non contradiction qui n’admet pas qu’une proposition soit équivalente à sa négation. L’hypothèse qu’il existe un ensemble défini par la propriété ¬ (A ∈ A) conduit à une contradiction [6].
On dit que l’on est en présence une définition non prédicative, c’est-à­-dire : l’objet à définir, ici E remplacé par X est utilisé dans la définition de la propriété F (qui en principe doit définir E) « en tant qu’élément possible du domaine de variation d’un quantificateur universel » : (Heinzmann, 1985, p. 38).
(V) ∃ E ∀ A (A ∈ E ⇔ F(A) ).
Totalité universelle
infini actuel
Selon Poincaré : « C’est à la croyance à l’existence de l’infini actuel qui a donné naissance à ces définitions non prédicatives ». (Heinzmann, 1985, p. 34).
Pour éviter cette antinomie, on procède comme Zermelo par l’axiome de séparation [7].
(VI) ∀ Y ∃E ∀ A (A ∈ E ⇔ (A ∈ Y et F(A))).
Au lieu de comprimer directement dans l’ensemble E les éléments A satisfaisant la propriété F,
E = {A ; F(A) } (c.à.d. pour tout A de E, F(A) est vrai).
Cela aboutit à des contradictions [8]. On plonge d’abord ces éléments dans un ensemble Y,  A ∈ Y et F(A). Pour les identifier des éléments ne satisfaisant pas F, soit A ∈  Y et ¬ F(A). On les sépare (d’où axiome de séparation) et on les stocke ensuite dans E, partie liée de Y : E = {A ∈ Y et F(A) }. Si on remplace F(A) dans (VI) par ¬(X ∈ X), l’antinomie de Russell disparaît
(VII)¬(X ∈ X) ⇔ X ∈ Y et (X ∈ X).
Cependant le caractère imprédi­catif de l’axiome de séparation n’a pas disparu. E reste un candidat potentiel parmi les valeurs possibles de A dans (VI).

E3-2 – La matrice de l’antinomie. Outre le paradoxe qui porte son nom, Russell dès 1905 rechercha une méthode plus globale d’où jaillirait l’explication de toutes les antinomies : la matrice de l’antinomie (sic). Il généralisa alors l’axiome de compréhension [9]. Etant donné une propriété p et fonction f telles que Si p caractérise tous les membres d’un ensemble U, ∀ x (x ∈ U ⇒ p(x)), f(U) existe toujours, prend la propriété p, p(f(U)) et n’est pas membre de U, ¬(f(U) ∈ U)
Alors la supposition qu’il y a une classe W de tous les termes ayant la propriété p, ∃W ∀Y (p(y) ⇔ y ∈ W) conduit à la conclusion que f(W) possède et ne possède pas la propriété p. en abrégé :
∀ U [∀ x (x ∈ U ⇒ [p(f(U)) et ¬(f(U) ∈ U) ]] ⇒ [ ∃W ∀ Y ( p(y) ⇔ y ∈ W) ⇒ ∃W [p(f(W)) et ¬(p(f(W))]].
Cela est contradictoire !

E3-3 . Paradoxe de Burali-Forti. Ainsi en prenant p(x) pour « x est un ordinal » ou ON(x) et f(U) pour le successeur de U, soit S(U), nous retrouvons le paradoxe de Burali-­Forti relatif à l’ensemble de tous les ordinaux.
∀U [ ∀x (x ∈ U ⇒ ON(x))] ⇒ [ON(S(U)) et ¬(S(U))] ⇔ [∃W ∀y (ON(y) ⇔ y ∈ W) ⇒ ∃W [ON(S(W) et ¬(ON(S(W)))]].
L’ensemble de tous les ordinaux, ici W a un nombre ordinal S(W) supérieur à celui du plus grand nombre ordinal figurant dans l’ensemble de tous les nombres ordinaux. Cela est contradictoire !

E3-4 . Paradoxe de Cantor. Avec la matrice des antinomies, on génère le paradoxe de Cantor relatif à l’ensemble des ensembles. En prenant p(x) = E(x) (lire :” x est un ensemble”), l’opération f(x) pour P(x) (ensemble des parties de x), nous avons :
∀U [∀ x (x ∈ U ⇒ E(x) ) ⇒ [E(P(U)) et ¬(P(u) ∈ U)] ⇒  [∃ W ∀ y [E(y) ⇔ y ∈ W] ⇒ ∃W [E(P(W)) et ¬(E(P(W)) ]].
L’ensemble des parties de l’ensemble de tous les ensembles P(W), est un ensemble E(P(W)), donc est contenu dans E.

Exercice n° 2 : Générer à partir de la matrice de l’antinomie, le paradoxe de Russell.

Mais comment de l’axiome de compréhension l’on est passé au schéma d’axiome de substitution (ou de remplacement) ?

E4 . Le schéma d’axiome de remplacement

E4-1 – Les lacunes dans la théorie des ensembles de Zermelo. Mirimanoff, 1917 (p. 38) savait, à la suite des travaux de Burali-Forti et Russell sur les antinomies que l’existence de certains éléments n’enraîne pas ipso-facto celle de leur ensemble. Il médita sur les véritables conditions de l’existence d’un ensemble d’individus. Les ensembles qui firent l’objet d’investigation chez Mirimanoff, furent des sous-ensembles dont J. Köning cherchait à construire en vain par diverses associations : à partir seulement de l’intuition d’un ensemble ; des ensembles qui contiennent des éléments simples (noyaux) et/ou des éléments qui sont leur tour des ensembles, soit E = {a, A} ; a est un élément-noyau ou élément primitif. A est un élément-ensemble, décomposable à son tour comme E.
Pour mener à bien son travail Mirimanoff fut obligé d’introduire deux notions : celle de descente et celle isomorphie d’ensembles. La descente est une suite d’éléments-ensembles s’emboîtant les uns dans les autres, qui converge vers des éléments indécomposables appelés noyaux. Un ensemble construit grâce à une telle descente finie est un ensemble ordinaire. Si la descente est infinie, l’ensemble obtenu est extraordinaire.
Sa notion d’isomorphisme correspond dans le langage moderne à la notion classique d’équipotence utilisée dans la genèse du théorème de Cantor-Berstein (ou théorème d’équivalence). Lequel théorème est très utile pour la construction des ordinaux et des cardinaux. Or la première version de la théorie des ensembles selon Zermelo publiée en 1908 [10] contenait trois lacunes :

1. L’axiome de l’infini ne garantit que l’existence d’ensembles dénombrables tels que w ; mais ignore la descente transfinie, objet de prédilection de Cantor, du type :  {w, f(w), f(f(w)), f(f(f(w)))….} ; w étant l’ensemble des entiers naturels. f, une fonction substituable tantôt à l’opération successeur, tantôt à l’opération ensemble de parties.
2. En fait de correspondance biunivoque (résultant de l’isomorphisme), les axiomes de Zermelo, ne garantissent pas si les images obte­nues par transformation ininterrompue de w forment effectivement des ordinaux.
3. Dans son axiome de compréhen­sion, Zermelo fit intervenir la notion de « phrase définie » qui ne fut pas précisée.
En outre, cette notion présupposait l’énoncé des axiomes de la théorie des ensembles et des principes de logique.
Pour palier à cette dernière lacune, Fraenkel et Skolem indépendamment l’un de l’autre, donnèrent la précision suivante :
« Une propriété est dite définie pour une théorie donnée, si elle est construite à partir, des relations primitives de cette théorie uniquement au moyen des opérations logiques élémentaires, négation, conjonction, disjonction, et quantification, toutes ces opérations pouvant être combinées et itirées un nombre quelconque fini de fois ». (Largeault, 1972, p. 139). Largeault cite Fraenkel.
Ainsi l’axiome de compréhension devient une formule partant close de la théorie des ensembles (elle-même représentée dans le langage des prédicats du 1er ordre) dont les relations primitives sont x ∈ y et x = y. (voir Skolem, 1963, p. 162).

Mais « au lieu d’un seul axiome de compréhension, c’est un schéma d’axiome que nous obtenons, dont chaque cas particulier correspond à une formule dans le langage » (Mostowski, 1978, p. 21).
« Chaque schéma étant regardé comme remplissant à lui seul une suite infinie d’axiomes » (Grzegorczyk, 1961, p.62).
Pour remédier aux deux premières lacunes, Fraenkel et Skolem (chacun travaillant pour soi) représentèrent l’axiome de substitution. L’énoncé que nous présentons est une traduction de Drake, 1985, p. 27).

Pour tout ensemble a, et une fonction F, l’image de tous les éléments de a par F est aussi un ensemble.
(i.e. F(y) / y ∈ a). En abrégé,
∀ x ∀ y ∀ z (F(x,y) et F (x,z) ⇒ y = z) ⇒ ∀ a ∃b ∀ z (z ∈ b ⇔ ∃u (u ∈a et F(u, z))).

E4-2 – Commentaires sur l’axiome de compréhension

E4-2-1 – Par rapport à la théorie des classes
La première partie de l’axiome, ∀ x ∀ y ∀ z (F(x,y) et F(x,z) ⇒ y = z), donne la définition d’une classe F qui est une opération. Selon Mostowski, 1978 (p.23) qui cite Heijenoort, dans la théorie des classes de von Neumann (sans Bernays – Gödel) la notion primitive fut celle d’opération. Bernays et Gödel donnèrent une version dans laquelle cette notion fut déduite de celle de fonction propositionnelle.
La deuxième partie de l’axiome dit que l’intersection (au sens intuitif) entre une classe F(u, z) et un ensemble a est également un ensemble, soit b.

E4-2-2 – Commentaires généraux. Il faut rappeler ici, que les éléments du langage composant l’axiome de remplacement tels que le prédicat et la fonction furent déjà présents dans la matrice des antinomies de Bertrand Russel.
Que l’on exprime au second ordre [11] l’axiome de substitution :

[∀ X ∀ w [ (∀ x ∈ w) ∃!Y  X(x,y) ] ⇒ ∃z ∀u[u ∈ z ⇔ ∃t [ t ∈ w et X(t,u) ]]],

« il y a un ensemble z dont les éléments sont exactement les images par la relation fonctionnelle des éléments de z qui sont dans le domaine de la relation fonctionnelle ». (Gauthier, 1976,  p. 32) ; ou au premier ordre à la manière de Drake cet axiome garde son intuition de départ. Il n’affirme pas l’existence d’un ensemble précis mais plutôt la « possibilité de » fabriquer (sélectionner) dans un ensemble donné des sous-ensembles à l’aide d’une propriété définie logiquement et axiomatiquement.
C’est Bernays et Fraenkel 1958 (cité par Kleene, 1971, p. 197) qui dénotent l’axiome de compréhension par axiome des sous-ensembles d’un ensemble donné. Cette influence vient des travaux de Zermelo. Dans la première formulation, Zermelo appelle l’axiome de compréhension par son vrai nom :
Postulat de triage (voir Beth 1955 p. 142). La notion de triage conserve mieux l’intuition du principe de tiers-exclu que ne le fait le concept de compréhension.

ABREVIATIONS

CAD : Cheikh Anta Diop.
éd. : édition.
Ens. Math. : Enseignement mathématique.
G.N.V. : Gauthier Villan E. Nauwelaerts.
NBG : von Neumann Bernays Gödel.
NDJFL : Notre Dame Journal of Formal Logic.
n. : numéro.
p. : page.
PUF : Presses universitaires de France.
t. : tome.
vol. : volume.
Z.F. : Zermelo-Fraenkel.

Nous remercions vivement M. et Mme SENGHOR lesquels, par une heureuse rencontre, nous ont fait honneur de figurer parmi les élus qui rendent hommage au Savant Africain.

Mboka KIESE
B.P. 1519 – 78205 Mantes – FRANCE

[1] Un commentaire sur les Fondements des mathématiques d’après l’introduction de Cheikh Anta Diop. (Première partie), par Mboka Kiese. A paraître aux éditions Présence Africaine.

[2] A. Cresson, 1958, (p.16).

[3] CAD, 1982 (p. 462).

[4] Voir l’exposé de Pieters, 1981, (p. 23-32).

[5] Ils, mis pour Bernays et Gödel.

Dans une bonne théorie des ensembles, on ne peut pas admettre l’existence d’un ensemble dont les éléments soient exactement les objets qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes” (J.M. Exbrayat, 1971 et autres (p. 11).

[6] Voir Hao Wang, 1953 (p. 15-18) ou Beth. 1955 (p. 142-143).

[7] Abraham Adolf Fraenkel est né en Allemagne en 1891 et mort en Israël en 1965.

[8] L’idée de compréhension ne renferme pas de contradiction en soi. C’est le fait d’accepter d’emblée que, la condition selon laquelle des éléments A ayant été caractérisés par une, certaine propriété F, une telle condition est suffisante pour fonder un ensemble, qui rend contradictoire ; “Dans le cas où cette propriété serait possédée par l’ensemble lui-même, il en resulterait qu’il serait élément de lui-même” (Michel Combes, Fondements des mathématiques, Paris, PUF, 1971, p. 10). Cela contredit l’axiome de fondation.

[9] Nous suivons l’idée générale exposée par Vuillemin, 1964 (p. 59). Vuillemin cite Russell.

[10] Voir Hao Wang, 1953 (p.15-18) ou Beth, 1955 (p.142-143)

Abraham Adolf Fraenkel est né en Allemagne en 1891 et mort en Israël en 1965.

[11] Dans le langage des prédicats du premier ordre, les quantificateurs couvrent des variables individuelles. Par contre dans le second ordre, les quantificateurs portent aussi sur des prédicats et fonctions. C’est le cas ici du prédicat « grand X.. et de la variable individuelle « petit x.

BIBLIOGRAPHIE CITEE

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LARGEAULT, Jean : 1972, Logique mathéma­tique-textes, Armand Colin, Paris.
MIRIMANOFF ; D. : 1917, Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies canto­riennes, Ens. Math. t. 19, p. 209-217.
MOSTOWSKI, Andrzej : 1978, Les ensembles, p. 1-36 ; Dans un ouvrage collectif, la pensée scientifique – quelques concepts, démarches et méthodes, éd.. Mouton/Unesco.
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PIETERS, Jean : 1981, Frege et le projet des Grundlagen, p.23-42, Cahier du Centre de Logique, vol. 2, Cabay-Louvain la Neuve.
RUBIN, H. et J.E. Rubin : 1963, Equivalents of the axiom of choice, North-Holland.
SKOLEM, A. Th. : 1963, Studies on the axiom of comprehension, p.162-170, NDJFL, vol. IV, n° 3, July.
VUILLEMIN,Jules : 1964, L’origine et le méca­nisme des antinomies dans la première philo­sophie de Russell (1903), p.59-95, Logique et analyse, n°s 25-26 ; Louvain.

Introduction. Les surfaces de Riemann sont un compromis entre la continuité et la multiformité. Chez les Mathématiciens anglosaxons, l’uniformité ou l’univocité définit à la fois une fonction et son injectivité. Chez les Mathématiciens francophones, une fonction, mieux une application est injective, surjective et bijective. Dans les ouvrages mathématiques anglosaxons les termes d’injection de surjection et de bijection sont inexistants. Le terme utilisé est "one-to-one". Chez les Mathématiciens slaves ou russes, une telle définition de la fonction est redondante. Dans leurs manuels, ils omettent la définition d’une surjection. Si intuitivement, la surjection rappelle une frontière topologique, l’injection, son intérieur, pour combler la lacune, il est apparu impératif de définir un objet mathématique correspondant à un extérieur topologique (ku en kikongo). Du coup, la définition d’une fonction basée sur l’univocité relationnelle des variables a accusé des lacunes. Pour les surmonter, il a fallu violer la règle de l’uniformité et ouvrir la voie aux fonctions dites multiformes, considérées comme des collections de fonctions uniformes. Chaque élément de cette collection devient une branche de la fonction multivoque. Ce travail forcé, balbutiement de la théorie des ensembles, a abouti aux Surfaces de Riemann.

1. Fonction.Une fonction uniforme f est par définition injective. A deux variables de départ distinctes x et y correspondent deux variables d’arrivée distinctes f(x) et f(y). Les Mathématiciens anglosaxons omettent la définition du prédicament de l’injection accolé à la fonction par les Mathématiciens francophones. L’uniformité ou l’univocité définit à la fois une fonction et son injectivité chez les Anglosaxons. Ces derniers utilisent l’expression "One-to-one", traduite en français, univoque.   A function f is one-to-one if :
a) f(x) = f(y) a x = y ;
or
b) x≠y a f(x)≠f(y).

Or une telle formulation de l’univocité revient à la définition d’une fonction injective chez les Mathématiciens francophones. 

2. Application. Historiquement, dans un souci d’exactitude la notion de fonction, vague, fut remplacée par la notion d’application :
"Une fonction de la variable x n’est pas nécessairement définie pour toutes les valeurs de la variable x" (Jacqueline Lelong-Ferrand, Les notions de mathématiques de base dans l’enseignement du second degré, Paris, Librairie Armand Colin, 1964, p. 33).

L’introduction d’un domaine de définition par delà l’ensemble de départ et d’une image par delà l’ensemble d’arrivée a clarifié les mouvements des variables d’une fonction. Une application, comme l’envoi d’une lettre par la poste, implique un lieu d’expédition et un lieu de destination. On passe de la fonction à l’application en plongeant les fonctions dans les deux ensembles précédemment cités. Soit la notation usuelle de la fonction :

f : x |→ y.

Domaine de définition de f ou domf := { x/$y et (x,y) ∈ f }.
Domaine des valeurs ou Image de f ou imf := { y/$x et (x,y) ∈ f }.
L’axiome de remplacement de la théorie axiomatique des ensembles selon Zermelo-Fraenkel accorde la qualité d’un ensemble à l’image d’un ensemble X par une application f :

f(X) := {f(x) /x ∈ X}.

Pour représenter une application f de A dans B, on écrit  f  ⊂ A x B (lire : "f est inclus dans A croix B");
En fait, c’est une fonction f à valeurs dans B, et dont le domaine de définition est A. A := Domf et Imf  ⊂ B. Into est la traduction anglosaxonne de la préposition dans (mu en kikongo).
Une application f de A sur B est une fonction f à valeurs sur B, et dont A := Domf et Imf := B. Onto est la traduction anglosaxonne de la préposition sur (ga en kikongo).   

3. Surjection. Quel que soit un élément d’arrivée y d’un ensemble B, il existe au moins un élément de départ x appartenant à un ensemble de départ A. On définit de la sorte une application ou une fonction surjective. Mais une telle définition est redondante pour les Mathématiciens slaves ou russes. Dans leurs manuels, ils omettent la définition d’une surjection. En rappelant toutefois l’unicité de y ou de f(x), cela revient à une simple définition d’une fonction :

"On appelle fonction [...] la relation binaire f si pour tous x, y et z il s’ensuit de (x,y) ∈ f et (x, z) ∈ f que y = z" (L. Koulikov, Algèbre et Théorie des nombres, Moscou, Editions Mir, 1982, p. 51).

Autrement relaté à chaque variable de départ correspond une unique variable d’arrivée. La définition d’une fonction sous-entend celle de son unicité. 

4. Fonctions multiformes. La surjection à elle seule peut cacher des fonctions multiformes dans lesquelles une variable de départ correspond à plusieurs images d’arrivée.  Notamment, les fonctions racines nièmes, les fonctions logarithmiques associent à tout nombre complexe plusieurs racines ou plusieurs images. Elles y sont multiformes. Elles ne sont pas continues dans tout l’ensemble des nombres complexes. Comment travailler à la fois sur leur continuité et sur leur uniformité ? Pour des "raisons d’état", il faut sacrifier la continuité pour travailler sur l’uniformité. L’on ne peut pas parler d’unicité d’une collection d’arrivée, mais de plusieurs collections d’arrivée puisque l’idée de continuité d’une fonction est remise en question dans ce cas de multiformité. Pour soigner cet handicap, on va considérer une fonction multiforme comme un ensemble (au sens cantorien) de fonctions uniformes. Il y a autant de fonctions uniformes que de variables d’arrivée. Chaque surjection étant alors considérée comme une branche de la fonction multiforme. La première fonction uniforme sera appelée détermination principale. Si en partant d’un point d’origine placé sur la détermination principale, on effectue plusieurs tours trigonométriques, en passant en revue à chaque tour les valeurs de chaque branche de la fonction multiforme et que l’on retombe sur les valeurs initiales de la première fonction principale, ce point d’origine est appelé point de branchement. Géométriquement il sert de ralliement aux différentes fonctions uniformes, considérées comme des feuillets discontinus. Mais on n’est pas à bout de la continuité. Il faut d’abord interdire la traversée d’une branche à une autre, le changement de branchement pour tout dire, en introduisant une coupure sur la première détermination principale. Supposons deux points distincts a et b, l’un situé au bord de la ligne d’ouverture et l’autre placé plus à l’intérieur de cette ligne éloigné du premier. Après une entaille, a se divise en a’ et a" et b en b’ et b". Nous obtenons quatre points distincts disposés de telle sorte que a’ soit séparé de a" et b’ séparé de b". Grâce à la coupure, on gagne ainsi en uniformité d’une seule branche de la fonction multiforme. Nous réalisons une entaille sur la deuxième branche qui donne sur un bord deux points alignés c’ et d’ séparés respectivement de deux autres points alignés c" de d". Cette coupure sera réalisée à chaque branche respective rendant ainsi les feuillets séparés. L’Allemand Bernhard Riemann (1826-1866), étudiant de Carl Gauss (1777-1855) à Göttingen, va imaginer le raccordement d’un bord a’ de l’ouverture du premier feuillet au bord c" opposé de l’ouverture du feuillet adjacent, ainsi que le raccordement du bord b’ au bord d". Disons les bords a" et b" sont raccordés aux bords c’ et d’. On peut ainsi traverser tous les feuillets de façon continue, de a’ à c" puis de d" à b’; de b’ à o, le centre ; puis du centre à b" vers d’ ; puis de d’ à c’, passant de branche en branche de la fonction sans tourner en rond sur un seul feuillet. Les bandes rectangulaires a" b" o d’ c’ et a’ b’ o d" c" forment un entrecroisement. C’est l’ensemble de ces feuillets qui constitue une surface de Riemann.

Exercice. Nous demandons la représentation de la figure géométrique (la surface de Riemann) ainsi décrite.

Texte paru également dans La Lettre de L’IRIAN le 03 juillet 2007.

© Les éditions Bukonzo, Paris 2008.

1. Function. A uniform function f is by definition injective. To two different variables of departure x and y correspond to it two different variables of arrival f(x) and f(y). The Anglo-Saxon Mathematicians omit the definition of the prédicament of the injection attached to the function by the French-speaking Mathematicians. The uniformity or the univocity defines at the same moment a function and its injectivity to the Anglo-Saxon. These last ones use the expression ” One-to-one “, translated into French, univoque or unambiguous. A function f is one-to-one if :
a) f(x) = f(y) a x = y ;
or
b) (x≠ y) a f(x) ≠ f(y).

Now such a formulation of the univocity returns to the definition of an injective function to the French-speaking Mathematicians.

2. Application. Historically, in a care of exactness the notion of function, vague, was replaced by the notion of application.
“A function of the variable x is not inevitably defined for all the values of the variable x” (Jacqueline Lelong-Ferrand, Les notions de mathématiques de base dans l’enseignement du second degré, Paris, Librairie Armand Colin, 1964, p. 33).

The introduction of a domain of definition more the whole departure and an image more the whole arrival clarified the movements of the variables of a function. An application, as the sending of a letter by post, implies a place of expedition and a place of destination. We cross from function to the application by plunging the functions into both sets already quoted. Let be the usual notation of the function :

f : x |→ y.

Domain of f or dom(f) := { x/$y and (x,y) ∈ f }.
Range of f or ran(f) := { y/$x and (x,y) ∈ f }. 
The axiom of replacement of the axiomatic set theory according to Zermelo-Fraenkel grants the quality of a set to the range of a set X by an application f :
f(X):= {f(x) / x ∈ X}.

To represent an application f of A in B, we write  f ⊂ A x B (read : ” f is included in A cross B “); In fact, it is a function f with values in B, and the domain is A. A: = Dom(f) and  ran(f) ⊂ B.  Into is the Anglo-Saxon translation of the preposition dans (mu in kikongo language). An application f of A on B is a function f with values on B, and among which A: = Dom(f) and ran(f):= B. Onto is the Anglo-Saxon translation of the preposition sur (ga in kikongo language).

3. Surjection. Whatever y an element of arrival of a set B, there is at least an element of departure x belonging in a set of departure A. We so define an application or a function surjective. But such a definition is redundant for the Slavic or Russian Mathematicians. In their textbooks, they omit the definition of a surjection. By reminding however the uniqueness of it or of f(x), it returns to a simple définition of a function :

” We call function [...] the binary relation f if for all x, y and z there is of (x, y) ∈ f and (x, z) ∈ f that y = z ” (L. Koulikov, Algèbre et Théorie des nombres, Moscou, Editions Mir, 1982, p. 51).

Otherwise told in every variable of departure corresponds a unique variable of arrival. The definition of a function implies that of its uniqueness. A function is surjective if in any variable of arrival corresponds at least a variable of departure.

4. Multiform functions. Surjection can hide multiform functions in which a variable of departure corresponds to several images of arrival. Notably, the nth roots functions, the logarithmic functions associate with any complex number several roots or several images. They are multiforms there.They are not continuous in all the set of complex numbers. How to work at the same moment on their continuity and on their uniformity ? “On grounds of state”, it is necessary to sacrifice the continuity to work on the uniformity. We cannot speak about uniqueness of a collection of arrival, but about several collections of arrival because the idea of continuity of a function is questioned in that case of multiformity. To look after this handicap, we are going to consider a multiform function as a set (in the cantorien sense) of uniform functions. There are so many uniform functions as variables of arrival. Every surjection being then considered as a branch of the multiforms function. The first uniform function will be called main determination. If by leaving a point of origin placed on the main determination, we make several trigonometric tours, in being reviewed in every tour the values of every branch of the multiform function and what we fall again on the initial values of the first main function, this point of origin is called point of connection. Geometrically it is of use as reunification to the various uniform functions, considered as discontinuous leaves. But we are not at the end of the continuity. It is necessary to forbid at first the crossing from a branch to the other one, the change of connection all in all, by introducing a cut on the first main determination. Let us suppose two different points a and b, the one situated at the edge of the line of opening and the other one placed more inside this line taken away from the first one. After a notch, a divides into a’ and a” and b into b’ and b”. We obtain four arranged different points so that a’ is separated of a” and b’ separated of b”. Thanks to the cut, we so win in uniformity of a single branch of the multiform function. We realize a notch on the second branch which gives onto an edge two aligned points c’ and d’ separated respectively from two other aligned points c” of d”. This cut will be realized in every respective branch so returning the separate leaves. The German Bernhard Riemann (1826-1866), student of Carl Gauss (1777-1855) in Göttingen, is going to imagine the connecting of an edge a’ of the opening of the first leaf in the edge c” set by the opening of the neighboring leaf, as well as the connecting of the edge b’ at the edge d”. Let us say edges a” and b” are linked with edges c’ and d’. We can so cross all the leaves in a continuous way, of a’ in c” then of a” in b’; of b’ in o, the center; then of the center in b” towards d’; then from d’ to c’, passing of branch in branch of the function without going round in a circle on a single leaf. The rectangular bands a”b” o d’ c’ and a’ b’ o d” c” form an intertwining. It is all these leaves that constitutes a Riemann surface.

Exercise. We ask for the representation of the geometrical figure (the Riemann surface) so described.

Text appeared also in The Letter of THE IRIAN on July 3rd, 2007.

© Bukonzo Press, Paris, 2008.